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Hi,
ich hab nochmal eine Frage zu Betragsgleichungen. Diesmal geht es genauer gesagt um eine Ungleichung.
Bestimme die reelen Lösungsmengen der folgenden Ungleichung:
2x-8>|x|
Mein Hauptproblem besteht darin die Fallbedingung so schön zu formulieren wie es mir bei der letzten Aufgabe hier gezeigt wurde. Das Ergebnis stimmt zwar (fast), aber ich bin mir nicht in der Form der Aufgabe sicher.
Als erstes hab ich den linken Teil > 0 gesetzt:
2x-8>0
2x>8
x>4
1. Fall: x>4
2x-8>x
x-8>0
x>8 => 8 ist zumindest mal Ergebnis der Lösungsmenge im Buch
2. Fall: [mm] x\le4
[/mm]
2x-8>-x
3x-8>0
3x>8
[mm] x>\bruch{8}{3}
[/mm]
=> der zweite Teil der Lösungsmenge ist, laut Buch, [mm] \infty. [/mm] Ergibt sich das evtl. wenn man die Fallbedingung korrekt hinschreibt? Ansonsten würde ich mich freuen, wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
Gruß
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo Andreas,
um eine Gleichung oder Ungleichung aufzulösen, die einen Betragsterm enthält, muß man immer erst die Betragsstriche auflösen, was nur mit einer Fallunterscheidung möglich ist, die zwei Fälle unterscheidet:
1. Der Term in den Betragsstrichen ist positiv. Dann läßt man die Betragsstriche einfach weg.
2. Der Term in den Betragsstrichen ist negativ. Dann läßt man die Betragsstriche weg, setzt eine Klammer um den Term, der in den Betragsstrichen stand, und schreibt ein Minuszeichen davor.
Anschließend lößt man die Gleichung nach bekannten Verfahren. Zum Schluß muß man prüfen, ob die Lösung mit der Einschränkung der Fallunterscheidung übereinstimmt.
Das [mm]\infty[/mm]-Symbol (liegende 8) bedeutet Unendlich, d.h. die Lösungsmenge hat nach oben keine Grenze (auch wenn die Zahlen noch so groß werden) bzw. die Lösungsmenge ist nach unten unbeschränkt.
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> Hallo Andreas,
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> um eine Gleichung oder Ungleichung aufzulösen, die einen
> Betragsterm enthält, muß man immer erst die Betragsstriche
> auflösen, was nur mit einer Fallunterscheidung möglich ist,
> die zwei Fälle unterscheidet:
>
> 1. Der Term in den Betragsstrichen ist positiv. Dann läßt
> man die Betragsstriche einfach weg.
Hab ich ja im ersten Fall gemacht. Kommt 8 raus.
> 2. Der Term in den Betragsstrichen ist negativ. Dann läßt
> man die Betragsstriche weg, setzt eine Klammer um den Term,
> der in den Betragsstrichen stand, und schreibt ein
> Minuszeichen davor.
Hab ich auch hier so gemacht, wie man ja sehen kann.
> Anschließend lößt man die Gleichung nach bekannten
> Verfahren.
Kommt dann [mm] \bruch{8}{3} [/mm] beim 2. Fall raus.
> Zum Schluß muß man prüfen, ob die Lösung mit
> der Einschränkung der Fallunterscheidung übereinstimmt.
Genau das ist mein Problem. Wenn die Fallunterscheindung, wie von mir gewähl beim 2. Fall [mm] x\le4 [/mm] gilt, dann würde es ja übereinstimmen mit [mm] \bruch{8}{3}. [/mm] Scheint aber wohl nicht so zu sein. Folglich hab ich bei der Fallunterscheindung etwas falsch gemacht, oder?
> Das [mm]\infty[/mm]-Symbol (liegende 8) bedeutet Unendlich, d.h. die
> Lösungsmenge hat nach oben keine Grenze (auch wenn die
> Zahlen noch so groß werden) bzw. die Lösungsmenge ist nach
> unten unbeschränkt.
Hm, liegende 8? Das ist nen Scherz den ich nicht verstehe oder? Oder denkst du wirklich ich kenne dieses Zeichen nicht? 
Gruß
Andreas
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Hallo Andreas!
Ich mische mich mal ein und versuche, das Problem zu lösen
> > 1. Der Term in den Betragsstrichen ist positiv. Dann läßt
>
> > man die Betragsstriche einfach weg.
>
> Hab ich ja im ersten Fall gemacht. Kommt 8 raus.
Ich meine, Du hast einfach nur die falsche Fallunterscheidung gemacht. Denn Du machst die Fallunterscheidung für die linke Seite, bei der gar keine Betragsstriche sind. Der erste Fall ist demnach nicht $x>4$, sondern [mm] $x\ge [/mm] 0$. Das verträgt sich gut mit
[mm] $x\ge [/mm] 8$.
> > 2. Der Term in den Betragsstrichen ist negativ. Dann läßt
>
> > man die Betragsstriche weg, setzt eine Klammer um den
> Term,
> > der in den Betragsstrichen stand, und schreibt ein
> > Minuszeichen davor.
>
> Hab ich auch hier so gemacht, wie man ja sehen kann.
Na ja, wiederum geht es um die rechte Seite. Der zweite Fall ist also $x< 0$. Und der verträgt sich eben gar nicht mit [mm] $x>\frac{8}{3}$, [/mm] so dass es hier zu einem Widerspruch kommt. Die Ungleichung ist demnach für alle [mm] $x\ge [/mm] 8$ erfüllt, und deshalb gilt [mm] $IL=[8,\infty)$.
[/mm]
> Genau das ist mein Problem. Wenn die Fallunterscheindung,
> wie von mir gewähl beim 2. Fall [mm]x\le4[/mm] gilt, dann würde es
> ja übereinstimmen mit [mm]\bruch{8}{3}.[/mm] Scheint aber wohl nicht
> so zu sein. Folglich hab ich bei der Fallunterscheindung
> etwas falsch gemacht, oder?
Ich denke, das hat sich damit erledigt. Vielleicht noch ein kleiner Tipp: Insbesondere bei linearen Ungleichungen bietet sich immer eine Skizze an, um sein Ergebnis zu überprüfen. Dabei macht man von selbst die Fallunterscheidung für den Betrag.
Viele Grüße
Brigitte
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