Nochmal Bilinearformen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:33 Sa 24.01.2004 | | Autor: | Moe_Hammed |
Noch mal etwas anderes:
Ich hab eine durch eine Matrix M definierte Bilinearform f von V in den Grundkörper und soll zeigen, dass f geometrisch ist. D.h. doch, dass für 2 beliebige Vektoren A, B V gilt AB=0 =>BA=0
wenn ich jetzt AtMB=0 einsetze dann bekomm ich so etwas wie
b1(2a2+a4)+b2(a1...=0
wie zum Geier soll man denn zeigen, dass es gilt? Soll ich einfach Zahlen für a1,...,a[sub]4/sub] A und B eisetzen und einen konkreten Fall durchrechnen?
Genauso soll ich dann auch zeigen ob es sich um einen Symplektischen oder orthogonalen Raum handelt...super
ich hoffe, mir kann jemand helfen
Moe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Sa 24.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moe_Hammed,
danke, dass du deine Frage kopiert hast.
> Ich hab eine durch eine Matrix M definierte Bilinearform f
Könntest du die Matrix noch kurz posten, dann fällt meine Antwort nicht ganz so abstrakt aus 
> wie zum Geier soll man denn zeigen, dass es gilt? Soll ich
> einfach Zahlen für a1,...,a[sub]4/sub] A und B
> eisetzen und einen konkreten Fall durchrechnen?
Nein, so sicher nicht, da es ja dann nur für diese Zahlen gelten würde.
> Genauso soll ich dann auch zeigen ob es sich um einen
> Symplektischen oder orthogonalen Raum handelt...super
Könntest du auch hier noch die Definitionen nachliefern, da ich sie gerade nicht auswendig weiß. Falls sie zu lang sind, kann ich sie auch selbst nachschlagen.
Bis gleich,
Marc.
|
|
|
| |
|
[mm] M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2\\2 & 0 & 2 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} [/mm], Körper Z mit 3 Elementen(0, 1,2)
Def(1): Erfüllt eine Bilinearform(B-form --> ist ein wenig kürzer  ) f die Beziehung:
AB=BA , nennt man f eine symmetrische B-form
gilt hingegen nur AB=0 =>BA=0 so heißt f geometrisch
gilt AB=0 so heißen die beiden Vektoren A und B orthogonal zueinander.
Def(2): Ist f eine symmetrische B-form, so nennt man das Paar (V, f) einen orthogonalen Raum. -->Da die Matrix nicht symmetrisch ist, kann der Raum schon mal nicht orthogonal sein, oder?
Def(3):Ist f eine B-form mit AA=0 für alle A V, so heißt (V, f) ein Symplektischer Raum
ich hoffe das reicht an Def....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 So 25.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moe_Hammed,
> Def(1): Erfüllt eine Bilinearform(B-form --> ist ein wenig
> kürzer ) f die Beziehung:
> AB=BA , nennt man f eine symmetrische B-form
> gilt hingegen nur AB=0 =>BA=0 so heißt f geometrisch
> gilt AB=0 so heißen die beiden Vektoren A und B orthogonal
> zueinander.
>
> Def(2): Ist f eine symmetrische B-form, so nennt man das
> Paar (V, f) einen orthogonalen Raum. -->Da die Matrix
> nicht symmetrisch ist, kann der Raum schon mal nicht
> orthogonal sein, oder?
Mmh, da bin ich mir nicht so sicher, ob man das allgemein sagen kann, jedenfalls überlicke ich diesen Zusammenhang nicht für den Körper [mm] \IZ_3 [/mm].
Für diese Bilinearform würde ich auch sagen, dass sie nicht symmetrisch ist, ein Gegenbeispiel reicht ja aus, versuche doch mal eins zu finden: [mm]a,b\in\IZ_3^4 [/mm] mit [mm]a^t*M*b\neq b^t*M*a [/mm].
Wir hatten ja aber schon gefunden, dass [mm] 2b^tMa=a^tMb [/mm]; wenn nun tatsächlich Vektoren [mm]a,b[/mm] existieren, so dass [mm] a^tMb \neq 0 [/mm], dann reicht das als Beweis der Nicht-Symmetrie aus (zwei solche Vektoren haben wir übrigens in deiner vorherigen Frage zu Bilinearformen gefunden...)
> Def(3):Ist f eine B-form mit AA=0 für alle A V, so heißt
> (V, f) ein Symplektischer Raum
Diese Überprüfung ist doch jetzt auch nicht mehr schwierig, oder?
Versuchs doch noch mal, bei Problemen melde dich einfach wieder.
Bis später,
Marc.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Sa 24.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moe_Hammed,
ah, okay, dann ist das dieselbe Matrix wie vorhin auch, das war mir nicht klar.
Dann rechne ich mal [mm] a^tMb [/mm] und [mm] b^tMa [/mm] aus:
[mm] a^tMb=(a_1,a_2,a_3,a_4)*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2\\2 & 0 & 2 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}*(b_1,b_2,b_3,b_4)^t [/mm]
[mm] = (2a_2+a_4,a_1+a_3+2a_4,2a_2+2a_4,2a_1+a_2+a_3)*(b_1,b_2,b_3,b_4)^t [/mm]
[mm] = (2a_2+a_4)*b_1 + (a_1+a_3+2a_4)*b_2 + (2a_2+2a_4)*b_3 + (2a_1+a_2+a_3)*b_4 [/mm]
[mm] = 2a_2*b_1+a_4*b_1 + a_1*b_2+a_3*b_2+2a_4*b_2 + 2a_2*b_3+2a_4*b_3 + 2a_1*b_4+a_2*b_4+a_3*b_4 [/mm]
[mm] b^tMa [/mm] ist dann (durch einfache Vertauschung von a und b im vorherigen Ergebnis):
[mm] b^tMa [/mm]
[mm] = 2b_2*a_1+b_4*a_1 + b_1*a_2+b_3*a_2+2b_4*a_2 + 2b_2*a_3+2b_4*a_3 + 2b_1*a_4+b_2*a_4+b_3*a_4 [/mm]
[mm] = 2a_1*b_2+a_1*b_4 + a_2*b_1+a_2*b_3+2a_2*b_4 + 2a_3*b_2+2a_3*b_4 + 2a_4*b_1+a_4*b_2+a_4*b_3 [/mm]
[mm] = a_2*b_1 + 2a_4*b_1 + 2a_3*b_2+ 2a_1*b_2 + a_4*b_2 + a_4*b_3+ a_2*b_3+2a_2*b_4 + 2a_3*b_4 + a_1*b_4 [/mm]
[mm] = (a_2 + 2a_4)*b_1 + (2a_3+ 2a_1 + a_4)*b_2 + (a_4+ a_2)*b_3+(2a_2 + 2a_3 + a_1)*b_4 [/mm]
(überflüssig: [mm] = (a_2 + 2a_4,2a_3+ 2a_1 + a_4,a_4+ a_2,2a_2 + 2a_3 + a_1)*(b_1,b_2,b_3,b_4)^t [/mm])
Hier fällt jetzt auf, die [mm] a_i [/mm] bei [mm] b^tMa [/mm] eine 2 als Koeffizient haben, wenn sie bei [mm] a^tMb [/mm] eine 1 haben und umgekehrt.
Wir können uns ja mal ansehen, was [mm] 2b^tMa [/mm] für einen Wert hat; wäre dieser 0, dann ist natürlich auch [mm]b^tMa =0[/mm]
Also:
[mm]2b^tMa [/mm]
[mm] = (2*a_2 + 2*2a_4)*b_1 + (2*2a_3+ 2*2a_1 + 2*a_4)*b_2 + (2*a_4+ 2*a_2)*b_3+(2*2a_2 + 2*2a_3 + 2*a_1)*b_4 [/mm]
(aber: [mm] 2_3*2_3 = 1_3 [/mm], also:)
[mm] = (2*a_2 + a_4)*b_1 + (a_3+ a_1 + 2*a_4)*b_2 + (2*a_4+ 2*a_2)*b_3+(a_2 + a_3 + 2*a_1)*b_4 [/mm]
Dies ist aber genau [mm]a^tMb[/mm], es gilt also: [mm] 2b^tMa = a^tMb = 0[/mm] und deswegen auch [mm] b^tMa = 0 [/mm].
War doch gar nicht so schwierig
Zu den anderen Aufgaben schreibe ich dann was heute Nacht oder morgen früh.
Alles Gute,
Marc.
|
|
|
|
