www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Knobelaufgaben" - Nochmal Funktionentheorie
Nochmal Funktionentheorie < Knobelaufgaben < Café VH < Internes < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Knobelaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nochmal Funktionentheorie: eine Aufgabe hätte ich noch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Di 10.08.2010
Autor: fred97

Aufgabe
Sei [mm] $H:=\{z \in \IC: \Re(z) >0 \} [/mm] und

   [mm] $\mathcal{F}:= \{f:H \to \IC: f \text{ ist auf } H \text{ holomorph},\ f(1)=0, |f(z)| \le 1 ~\forall z \in H \}$ [/mm]

Man zeige, dass

           $m:= [mm] \max \{|f'(1)|: f \in \mathcal{F} \}$ [/mm]

existiert und das $m=1/2$ ist.

Nochmals die Bitte an die Moderatoren, die Aufgabe entsprechend zu kennzeichnen.


Gruß FRED

        
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Di 10.08.2010
Autor: zorin


> Sei [mm]$H:=\{z \in \IC: \Re(z) >0 \}[/mm] und
>  
> [mm]\mathcal{F}:= \{f:H \to \IC: f \text{ ist auf } H \text{ holomorph},\ f(1)=0, |f(z)| \le 1 ~\forall z \in H \}[/mm]


Sei [mm]D[/mm] die Einheitskreisscheibe und [mm]\varphi:D\to H[/mm], [mm]\varphi(z)=\bruch{1+z}{1-z}[/mm].
Ist nun [mm]f\in\mathcal{F}[/mm], dann ist [mm]g=f\circ\varphi:D\to D[/mm] und [mm]g'(0)=f'(1)\cdot\varphi'(0)[/mm].
Mit der Cauchy-Formel zeigt man, dass [mm]|g'(0)|\le1[/mm]. Zudem gilt [mm]\varphi'(0)=2[/mm], zusammen also  [mm]|f'(1)|\le1/2[/mm].

Für [mm]g(z)=z[/mm] gilt [mm]g'(0)=1[/mm]. Somit gilt für [mm]f(z)=\varphi^{-1}(z)=\bruch{z-1}{z+1}[/mm] dann [mm]f'(1)=1/2[/mm].



Bezug
                
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Mi 11.08.2010
Autor: fred97


> > Sei [mm]$H:=\{z \in \IC: \Re(z) >0 \}[/mm] und
>  >  
> > [mm]\mathcal{F}:= \{f:H \to \IC: f \text{ ist auf } H \text{ holomorph},\ f(1)=0, |f(z)| \le 1 ~\forall z \in H \}[/mm]
>  
>
> Sei [mm]D[/mm] die Einheitskreisscheibe und [mm]\varphi:D\to H[/mm],
> [mm]\varphi(z)=\bruch{1+z}{1-z}[/mm].
>  Ist nun [mm]f\in\mathcal{F}[/mm], dann ist [mm]g=f\circ\varphi:D\to D[/mm]
> und [mm]g'(0)=f'(1)\cdot\varphi'(0)[/mm].
> Mit der Cauchy-Formel zeigt man, dass [mm]|g'(0)|\le1[/mm].


[mm]|g'(0)|\le1[/mm]  ist richtig, aber wie Du das mit Cauchy erledigst sehe ich nicht.

Machs mal vor




> Zudem
> gilt [mm]\varphi'(0)=2[/mm], zusammen also  [mm]|f'(1)|\le1/2[/mm].
>  
> Für [mm]g(z)=z[/mm] gilt [mm]g'(0)=1[/mm].


> Somit gilt für
> [mm]f(z)=\varphi^{-1}(z)=\bruch{z-1}{z+1}[/mm] dann [mm]f'(1)=1/2[/mm].

Wenn Du meinst: [mm] \varphi^{-1} \in \mathcal{F}, [/mm] so liegst Du richtig


FRED

>  
>  


Bezug
                        
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:55 Mi 11.08.2010
Autor: zorin


> [mm]|g'(0)|\le1[/mm]  ist richtig, aber wie Du das mit Cauchy
> erledigst sehe ich nicht.

Sei [mm]g:D\to D[/mm] holomorph. Dann gilt für [mm]0 [mm]g'(0)=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{|\zeta|=r}\bruch{g(\zeta)}{\zeta^2}d\zeta[/mm]. Standardabschätzung liefert
[mm]|g'(0)|\le\bruch{2\pi r}{2\pi}\max_{|\zeta|=r}\bruch{|g(\zeta)|}{|\zeta|^2}<\bruch{1}{r}[/mm], da [mm]\max_{|\zeta|=r}|g(\zeta)|<1[/mm].
Betrachtet man [mm]r\to1[/mm], folgt [mm]|g'(0)|\le1[/mm].


> > Für [mm]g(z)=z[/mm] gilt [mm]g'(0)=1[/mm].  
> > [...]
> > [mm]f(z)=\varphi^{-1}(z)=\bruch{z-1}{z+1}[/mm] dann [mm]f'(1)=1/2[/mm].
>  
> Wenn Du meinst: [mm]\varphi^{-1} \in \mathcal{F},[/mm] so liegst Du
> richtig

Also hier wird [mm]g=\mbox{id}[/mm] gewählt, und dann ist [mm]f=\varphi^{-1}[/mm].


Bezug
                                
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 Mi 11.08.2010
Autor: fred97


> > [mm]|g'(0)|\le1[/mm]  ist richtig, aber wie Du das mit Cauchy
> > erledigst sehe ich nicht.
>  
> Sei [mm]g:D\to D[/mm] holomorph. Dann gilt für [mm]0
>  [mm]g'(0)=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{|\zeta|=r}\bruch{g(\zeta)}{\zeta^2}d\zeta[/mm].
> Standardabschätzung liefert
>  [mm]|g'(0)|\le\bruch{2\pi r}{2\pi}\max_{|\zeta|=r}\bruch{|g(\zeta)|}{|\zeta|^2}<\bruch{1}{r}[/mm],
> da [mm]\max_{|\zeta|=r}|g(\zeta)|<1[/mm].
>  Betrachtet man [mm]r\to1[/mm], folgt [mm]|g'(0)|\le1[/mm].


Prima gemacht ! Ich war wohl blind

Gruß FRED

>  
>
> > > Für [mm]g(z)=z[/mm] gilt [mm]g'(0)=1[/mm].  
> > > [...]
>  > > [mm]f(z)=\varphi^{-1}(z)=\bruch{z-1}{z+1}[/mm] dann [mm]f'(1)=1/2[/mm].

>  >  
> > Wenn Du meinst: [mm]\varphi^{-1} \in \mathcal{F},[/mm] so liegst Du
> > richtig
>  
> Also hier wird [mm]g=\mbox{id}[/mm] gewählt, und dann ist
> [mm]f=\varphi^{-1}[/mm].
>  


Bezug
                                        
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Mi 11.08.2010
Autor: zorin

Beim Maximumprinzip im Zusammenhang mit dem Lemma von Schwarz kam das vor.

Hier noch eine Übungsaufgabe:
Sei [mm]f[/mm] holomorph in (einer Umgebung von) [mm]c[/mm] und [mm]z_n\ne w_n[/mm] zwei Folgen, die gegen [mm]c[/mm] konvergieren.
Dann gilt [mm]\limes_{n\to\infty}\bruch{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n}=f'(c)[/mm].


Bezug
                                                
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Mi 11.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> Hier noch eine Übungsaufgabe:
>  Sei [mm]f[/mm] holomorph in (einer Umgebung von) [mm]c[/mm] und [mm]z_n\ne w_n[/mm]
> zwei Folgen, die gegen [mm]c[/mm] konvergieren.
> Dann gilt
> [mm]\limes_{n\to\infty}\bruch{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n}=f'(c)[/mm].

Machen wir es mal ganz brutal ;-)

Sei $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] c)^k$ [/mm] die Potenzreihenentwicklung von $f$ um $c$. Dann gilt [mm] $\bruch{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty a_k \frac{(z_n - c)^k - (w_n - c)^k}{z_n - w_n}$. [/mm]

Nun ist [mm] $\frac{(z_n - c)^k - (w_n - c)^k}{z_n - w_n} [/mm] = [mm] \frac{\sum_{\ell=0}^k \binom{k}{\ell} (z_n^\ell (-c)^{k-\ell} - w_n^\ell (-c)^{k-\ell})}{z_n - w_n} [/mm] = [mm] \sum_{\ell=0}^k \binom{k}{\ell} (-c)^{k-\ell} \frac{z_n^\ell - w_n^\ell}{z_n - w_n} [/mm] = [mm] \sum_{\ell=1}^k \binom{k}{\ell} (-c)^{k-\ell} \sum_{t=0}^{\ell-1} z_n^t w_n^{\ell-1-t}$. [/mm]

Fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] konvergiert dies also gegen [mm] $\sum_{\ell=1}^k \binom{k}{\ell} (-c)^{k-\ell} \sum_{t=0}^{\ell-1} c^{\ell-1} [/mm] = [mm] c^{k-1} \sum_{\ell=1}^k \binom{k}{\ell} (-1)^{k-\ell} \sum_{t=0}^{\ell-1} [/mm] 1 = [mm] c^{k-1} \sum_{\ell=0}^k \binom{k}{\ell} \ell (-1)^{k-\ell}$. [/mm] Nun ist $k (x - [mm] 1)^{k-1} [/mm] = [ (x - [mm] 1)^k [/mm] ]' = [mm] \sum_{\ell=0}^k \binom{k}{\ell} \ell x^{\ell - 1} (-1)^{k - \ell}$, [/mm] und setzt man $x = 1$ ein, so erhaelt man [mm] $\sum_{\ell=0}^k \binom{k}{\ell} \ell x^{\ell - 1} (-1)^{k - \ell} [/mm] = 0$ fuer $k [mm] \ge [/mm] 2$ und [mm] $\sum_{\ell=0}^k \binom{k}{\ell} \ell x^{\ell - 1} (-1)^{k - \ell} [/mm] = 1$ fuer $k = 1$.

Damit ist also [mm] $\lim_{n\to\infty} \bruch{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty a_k \lim_{n\to\infty} \frac{(z_n - c)^k - (w_n - c)^k}{z_n - w_n} [/mm] = [mm] a_1 [/mm] = f'(c)$.

LG Felix



PS: Eigentlich muss das Grenzwert hereinziehen ganz unten noch begruendet werden, das hab ich mir grad gespart da ich die naechsten paar Stunden erstmal keine Zeit mehr habe... :)

Bezug
                                                
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Mi 11.08.2010
Autor: gfm


> Beim Maximumprinzip
> im Zusammenhang mit dem Lemma von Schwarz kam das vor.
>  
> Hier noch eine Übungsaufgabe:
>  Sei [mm]f[/mm] holomorph in (einer Umgebung von) [mm]c[/mm] und [mm]z_n\ne w_n[/mm]
> zwei Folgen, die gegen [mm]c[/mm] konvergieren.
> Dann gilt
> [mm]\limes_{n\to\infty}\bruch{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n}=f'(c)[/mm].
>  

Nach der Cauchy Integralformel ist

[mm] \bruch{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n}=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{\bruch{f(u)-f(w_n)}{u-w_n}}{u-z_n}du\to\frac{1}{2\pi i}\oint\bruch{f(u)-f(c)}{(u-c)^2}du=\frac{1}{2\pi i}\oint\bruch{f(u)}{(u-c)^2}du-\frac{f(c)}{2\pi i}\oint\bruch{du}{(u-c)^2}=f'(c)-0 [/mm]

LG

gfm

Bezug
                                                        
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:37 Mi 11.08.2010
Autor: zorin


> Nach der Cauchy Integralformel ist

Cauchy-Formel ist auf jeden Fall nicht so brutal wie das Rechnen mit Potenzreihen. ;)
Obwohl man sieht, was man alles mit Potenzreihen machen kann, wenn man sich konzentriert.

> [mm]\bruch{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n}=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{\bruch{f(u)-f(w_n)}{u-w_n}}{u-z_n}du[/mm]

Die Null fällt weg, wenn man
[mm]\bruch{f(z)}{(z-z_n)(z-w_n)}=\bruch{1}{z_n-w_n}\left[\bruch{f(z)}{z-z_n}-\bruch{f(z)}{z-w_n}\right][/mm]
nimmt. Aber einfacher wird es deshalb wahrscheinlich nicht.



Bezug
                                                                
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Mi 11.08.2010
Autor: gfm


> > Nach der Cauchy Integralformel ist
>  
> Cauchy-Formel ist auf jeden Fall nicht so brutal wie das
> Rechnen mit Potenzreihen. ;)
>  Obwohl man sieht, was man alles mit Potenzreihen machen
> kann, wenn man sich konzentriert.

Ich bin von meiner Lösung nicht ganz überzeugt, da der Integrationsweg von n abhängt (denn man muss ja [mm] z_n [/mm] einschließen [mm] w_n [/mm] aber ausschließen, damit der Bruch holomorph bleibt), aber die Limesbildung ins Integral hineingezogen wird.

Bist Du sicher, dass meine Lösung so paßt?

LG

gfm

Bezug
                                                                        
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Mi 11.08.2010
Autor: zorin


> Ich bin von meiner Lösung nicht ganz überzeugt, da der
> Integrationsweg von n abhängt (denn man muss ja [mm]z_n[/mm]
> einschließen [mm]w_n[/mm] aber ausschließen, damit der Bruch
> holomorph bleibt), aber die Limesbildung ins Integral
> hineingezogen wird.

Also bei
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\int\limits_{|z-c|=r}\bruch{f(z)}{(z-z_n)(z-w_n)}dz = \bruch{1}{z_n-w_n}\cdot\bruch{1}{2\pi i}\int\limits_{|z-c|=r}\left[\bruch{f(z)}{z-z_n}-\bruch{f(z)}{z-w_n}\right]dz = \bruch{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n} [/mm]
integriert man um [mm]z_n[/mm] und [mm]w_n[/mm] herum, d.h. [mm]r>\max\{|z_n-c|,|w_n-c|\}[/mm]. Wählt man [mm]r>0[/mm] klein genug, dass [mm]\{|z-c|\le r\}[/mm] noch in der Umgebung liegt, dann liegen [mm]z_n[/mm] und [mm]w_n[/mm] irgendwann innerhalb des Radius samt der folgenden Folgeglieder. Der Integrationsweg bleibt also fest.

Bei dir bleibt zudem [mm]\frac{1}{2\pi i}\oint \bruch{f(w_n)}{(u-z_n)(u-w_n)}du=\bruch{f(w_n)}{z_n-w_n}\cdot\frac{1}{2\pi i}\left[\oint \bruch{du}{u-z_n}-\oint \bruch{du}{u-w_n}\right]=0[/mm], wenn man um beide rumintegriert. Wenn [mm]w_n[/mm] ausserhalb läge, dann hebten sich die beiden Teile nicht auf.


Bezug
                                                
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Zusatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 Fr 13.08.2010
Autor: zorin

Noch eine Aufgabe, die zu letzter Aufgabe führt:

Sei [mm]D[/mm] eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt [mm]c[/mm] und [mm]f[/mm] holomorph in einer Umgebung von [mm]\overline{D}[/mm]. Dann gilt
[mm]\left|\bruch{f(z)-f(w)}{z-w}-f'(c)\right|\le|f'-f'(c)|_D[/mm] für alle [mm]z,w\in D[/mm], [mm]z\ne w[/mm]. Dabei bedeutet [mm]|g|_D=\sup_D|g|[/mm].


Bezug
                                                        
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Fr 13.08.2010
Autor: fred97

Sei  [mm] $\gamma(t):= [/mm] w+t(z-w)$   für t [mm] \in [/mm] [0,1].

Wegen $f(z)-f(w)= [mm] \integral_{\gamma}^{}{f'(\xi) d \xi}$ [/mm] folgt:

   [mm] $\bruch{f(z)-f(w)}{z-w}-f'(c)= \bruch{1}{z-w}* \integral_{\gamma}^{}{(f'(\xi)-f'(c)) d \xi}$. [/mm]

Somit:

   [mm] $|\bruch{f(z)-f(w)}{z-w}-f'(c)| \le \bruch{1}{|z-w|}* [/mm] max [mm] \{|f'(\xi)-f'(c)|: \xi \in \gamma([0,1]) \}*L(\gamma)$ [/mm]

  $= [mm] \bruch{1}{|z-w|}*max \{|f'(\xi)-f'(c)|: \xi \in \gamma([0,1]) \}*|z-w|$ [/mm]

   $= max [mm] \{|f'(\xi)-f'(c)|: \xi \in \gamma([0,1])\} [/mm] $.

[mm] ($L(\gamma)$ [/mm] = Länge von  [mm] \gamma) [/mm]


FRED

Bezug
        
Bezug
Nochmal Funktionentheorie: Dummyfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:06 Mi 11.08.2010
Autor: Loddar

.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Knobelaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de