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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Di 24.01.2012 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | Betrachte in dem Polynomring [mm] \IZ[X] [/mm] die beiden Ideale [mm] I_{1} [/mm] = (X) und [mm] I_{2} [/mm] = (2,X).
Entscheide, ob die Ideale prim bzw. maximal sind. |
Sorry, dass ich nochmal einen Thread zu dieser Aufgabe aufmache aber ich sas nun die ganze Woche davor und würde gerne Eure Meinung hören.
[mm] I_{1} [/mm] ist die Menge aller Polynome mit konstantem Glied 0 und [mm] I_{2} [/mm] ist die Menge aller Polynome mit geradem konstanten Glied. Weiterhin ist [mm] I_{1} \not= \IZ[x] [/mm] und [mm] I_{2} \not= \IZ[x].
[/mm]
Zunächst mal ist [mm] I_{1} \subset I_{2}, [/mm] also kann [mm] I_{1} [/mm] kein maximales Ideal sein. Prüfe [mm] I_{1} [/mm] auf die Primidealeigenschaft: Seien a,b [mm] \in \IZ[x] [/mm] mit a*b [mm] \in I_{1} \Rightarrow [/mm] a*b = [mm] a_{n}X^{n}+...+a_{1}X^{1}. [/mm] Dann muss aber a [mm] \in I_{1} [/mm] oder b [mm] \in I_{1} [/mm] gelten, da sonst a*b ein konstantes Glied hätte, also ist [mm] I_{1} [/mm] ein Primideal.
Nun zu [mm] I_{2} [/mm] auch ein Primideal, denn: Seien a,b [mm] \in \IZ[x] [/mm] mit a*b [mm] \in I_{2} \Rightarrow [/mm] a*b = [mm] a_{n}X^{n}+...+a_{1}X^{1}+2*n [/mm] für ein n [mm] \in \IN_{0}. [/mm] Dann muss aber a oder b in [mm] I_{2} [/mm] liegen. Denn wären die Konstanten in a und b ungerade, so würde dies auch für a*b gelten. Zu zeigen bleibt die Maximalität dies Ideals [mm] I_{2}: [/mm] Angenommen [mm] I_{2} [/mm] wäre kein maximales Ideal. Dann müsste es ein Ideal J [mm] \not= \IZ[x] [/mm] geben mit [mm] I_{2} \subset [/mm] J. Dann hätte J mindestens ein Polynom mit ungeradem konstanten Glied. Dann müssten aber alle Polynoome mit ungeradem konstanten Glied in J enthalten sein, sonst wäre (J,+) nicht abgeschlossen, also insbesondere keine Gruppe. Dann wäre aber J = [mm] \IZ[x], [/mm] was der Vorassetzung widerspricht. Also muss [mm] I_{2} [/mm] bereits maximal sein.
Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand seine Meinung zu diesem Beweis preisgibt bzw. mich korrigiert.
Danke im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Di 24.01.2012 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Betrachte in dem Polynomring [mm]\IZ[X][/mm] die beiden Ideale [mm]I_{1}[/mm]
> = (X) und [mm]I_{2}[/mm] = (2,X).
> Entscheide, ob die Ideale prim bzw. maximal sind.
> [mm]I_{1}[/mm] ist die Menge aller Polynome mit konstantem Glied 0
> und [mm]I_{2}[/mm] ist die Menge aller Polynome mit geradem
> konstanten Glied. Weiterhin ist [mm]I_{1} \not= \IZ[x][/mm] und
> [mm]I_{2} \not= \IZ[x].[/mm]
> Zunächst mal ist [mm]I_{1} \subset I_{2},[/mm]
> also kann [mm]I_{1}[/mm] kein maximales Ideal sein. Prüfe [mm]I_{1}[/mm] auf
> die Primidealeigenschaft: Seien a,b [mm]\in \IZ[x][/mm] mit a*b [mm]\in I_{1} \Rightarrow[/mm]
> a*b = [mm]a_{n}X^{n}+...+a_{1}X^{1}.[/mm] Dann muss aber a [mm]\in I_{1}[/mm]
> oder b [mm]\in I_{1}[/mm] gelten, da sonst a*b ein konstantes Glied
> hätte, also ist [mm]I_{1}[/mm] ein Primideal.
> Nun zu [mm]I_{2}[/mm] auch ein Primideal, denn: Seien a,b [mm]\in \IZ[x][/mm]
> mit a*b [mm]\in I_{2} \Rightarrow[/mm] a*b =
> [mm]a_{n}X^{n}+...+a_{1}X^{1}+2*n[/mm] für ein n [mm]\in \IN_{0}.[/mm] Dann
> muss aber a oder b in [mm]I_{2}[/mm] liegen. Denn wären die
> Konstanten in a und b ungerade, so würde dies auch für
> a*b gelten. Zu zeigen bleibt die Maximalität dies Ideals
> [mm]I_{2}:[/mm] Angenommen [mm]I_{2}[/mm] wäre kein maximales Ideal. Dann
> müsste es ein Ideal J [mm]\not= \IZ[x][/mm] geben mit [mm]I_{2} \subset[/mm]
> J. Dann hätte J mindestens ein Polynom mit ungeradem
> konstanten Glied. Dann müssten aber alle Polynoome mit
> ungeradem konstanten Glied in J enthalten sein, sonst wäre
> (J,+) nicht abgeschlossen, also insbesondere keine Gruppe.
Warum genau? (ungerade Zahl + alle geraden Zahlen gibt alle ungeraden Zahlen)
> Dann wäre aber J = [mm]\IZ[x],[/mm] was der Vorassetzung
> widerspricht. Also muss [mm]I_{2}[/mm] bereits maximal sein.
Könntest du auch über die Restklassenringe argumentieren?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Di 24.01.2012 | | Autor: | Physy |
Nein, darüber habe ich ewig nachgedacht :) Aber ich weiß nicht, wie ich die Inversen bzgl. der Multiplikation finden soll, damit [mm] (\IZ[x]/I_{2},+,*) [/mm] ein Körper ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Di 24.01.2012 | | Autor: | statler |
Genau genommen hast du das erledigt. Was sind denn die Restklassen?
Gruß D
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