Noetherscher Ring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 So 22.01.2006 | | Autor: | jennyf |
| Aufgabe | | Es sei R ein noetherscher Ring mit Einselement. Zeigen sie: R enthält ein maximales Ideal |
Ist mal wieder die Zeit vor den Klausuren und ich brauche dringend Hilfe bei Übungsaufgaben.... ALso helft mir bitte....
Tipp zu der oben genannten Aufgabe ist:
Betrachte die Menge [mm] M={a\subset R; a Ideal mit 1\not\in a}
[/mm]
Kann mit dem Tipp nicht wirklich was anfangen? Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen?
Wie kann ich den obigen Tipp beim Beweisen der AUfgabe benutzen und wie kann man die Aufgabe allgemein lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jenny.
Ich wundere mich ein wenig über die Aufgabenstellung.
Wenn ich mich nicht irre, dann ist die Voraussetzung, dass $R$ noethersch ist, nicht notwendig. Der Beweis wird dadurch lediglich einfacher gemacht.
Betrachte die Menge $M$ der nichttrivialen (von $R$ verschiedenen Ideale) von $R$ (dies sind genau die Ideale, die das Einselement nicht beinhalten). Sie wird durch die Inklusion geordnet.
Setzen wir voraus, dass $R$ noethersch ist, so können wir folgende Definition noetherscher Ringe zum Beweis verwenden:
Ein Ring ist genau dann noethersch, wenn jede nichtleere Menge von Idealen aus $R$ ein maximales Element besitzt (bzgl. Inklusion).
Wenden wir dies auf $M$ an, so folgt die Behauptung.
Setzen wir nicht voraus, dass $R$ noethersch ist, so kann das Zornsche Lemma verwendet werden. Dazu muss jedoch gezeigt werden, dass $M$ durch die Inklusion induktiv geordnet wird. Zum Beweis betrachte eine vollständig geordnete Teilmenge $N$ von $M$ und versuche eine obere Schranke aus $M$ zu finden, ein Ideal [mm] $m\in [/mm] M$ also, für welches kein [mm] $n\in [/mm] N$ mit [mm] $m\subset [/mm] n$ existiert.
Liebe Grüße,
Hanno
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