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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Fr 18.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
habe ein kleines Verständnisproblem:
Wenn [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 &8 & 9 }\in\IR^{n\times{n}} [/mm] habe und [mm] \parallel{A}\parallel_1 [/mm] berechnen soll, dann ist das (?)
[mm] \parallel{A}\parallel_1=\max_{1\le{j}\le{n}}\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}=3+6+9=18.
[/mm]
Es gilt:
[mm] \parallel{A}\parallel_1=\sup_{x\not=0}\bruch{ \parallel{Ax}\parallel_1}{ \parallel{x}\parallel_1}=\sup_{\parallel{x}\parallel=1} \parallel{Ax}\parallel_1
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] \sup_{\parallel{x}\parallel=1} \parallel{Ax}\parallel_1 [/mm] angeben soll, wo kommt dann das [mm] x\in\IR^n [/mm] vor? Ich hoffe, mein Problem ist ersichtlich!?
MfG barsch
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> Hi,
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> habe ein kleines Verständnisproblem:
>
> Wenn [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 &8 & 9 }\in\IR^{n\times{n}}[/mm]
> habe und [mm]\parallel{A}\parallel_1[/mm] berechnen soll, dann ist
> das (?)
>
> [mm]\parallel{A}\parallel_1=\max_{1\le{j}\le{n}}\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}=3+6+9=18.[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]\parallel{A}\parallel_1=\sup_{x\not=0}\bruch{ \parallel{Ax}\parallel_1}{ \parallel{x}\parallel_1}=\sup_{\parallel{x}\parallel=1} \parallel{Ax}\parallel_1[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm]\sup_{\parallel{x}\parallel=1} \parallel{Ax}\parallel_1[/mm]
> angeben soll, wo kommt dann das [mm]x\in\IR^n[/mm] vor? Ich hoffe,
> mein Problem ist ersichtlich!?
Hallo,
ganz sicher bin ich mir nicht, ob ich Dich richtig verstehe, aber ich versuche es mal:
Dein Problem so, wie ich es verstehe, ist, daß Du nicht recht weißt, was
[mm][mm] \sup_{\parallel{x}\parallel=1} \parallel{Ax}\parallel_1 [/mm] bedeutet.
Du willst das sup über alle x mit [mm] \parallel{x}\parallel=1 [/mm] von [mm] \parallel{Ax}\parallel_1 [/mm] berechnen.
Erstmal müßtest Du sämtliche x "versammeln", für die die Summe der Beträge 1 ergibt.
Für all diese x würdest Du Ax berechnen und hiervon die Betragssumme berechnen.
Dann schaust Du Dich um und nimmst die größte der Summen. Das ist [mm] \sup_{\parallel{x}\parallel=1} \parallel{Ax}\parallel_1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Fr 18.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> ganz sicher bin ich mir nicht, ob ich Dich richtig
> verstehe, aber ich versuche es mal:
> Dein Problem so, wie ich es verstehe, ist, daß Du nicht
> recht weißt, was
> [mm][mm]\sup_{\parallel{x}\parallel=1} \parallel{Ax}\parallel_1[/mm] bedeutet.
Genau das ist mein Problem.
> Du willst das sup über alle x mit [mm]\parallel{x}\parallel=1[/mm] von [mm]\parallel{Ax}\parallel_1[/mm] berechnen.
> Erstmal müßtest Du sämtliche x "versammeln", für die die Summe der Beträge 1 ergibt.
Das sind doch alle Vektoren der Form [mm] x_i=\vektor{0 \\ . \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ . \\ 0} [/mm] mit 1 an der i-ten Stelle (also die Einheitsvektoren)!
> Für all diese x würdest Du Ax berechnen und hiervon die Betragssumme berechnen.
Wenn ich mein Bsp. von eben aufgreife bdeutet das:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 &8 & 9 }\in\IR^{n\times{n}}
[/mm]
Seien [mm] x_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0},x_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0},x_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
j=1: [mm] \summe_{i=1}^{n}|a_{i,1}x_i|=|a_{1,1}x_1|+|a_{2,1}x_2|+|a_{3,1}x_3|=|1*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}|+|4*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}|+|7*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}|=\wurzel{1^2}+\wurzel{4^2}+\wurzel{7^2}=1+4+7=12.
[/mm]
j=2: [mm] \ldots=2+5+8=15
[/mm]
j=3: [mm] \ldots=3+6+9=18
[/mm]
> Dann schaust Du Dich um und nimmst die größte der Summen. Das ist [mm]\sup_{\parallel{x}\parallel=1} \parallel{Ax}\parallel_1.[/mm]
Und daraus kann ich dann schließen:
[mm] \parallel{A}\parallel_1=\sup_{x\not=0}\bruch{ \parallel{Ax}\parallel_1}{ \parallel{x}\parallel_1}=\sup_{\parallel{x}\parallel=1} \parallel{Ax}\parallel_1=18
[/mm]
Korrekt?
> Gruß v. Angela
Vielen Dank
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Fr 18.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> > Erstmal müßtest Du sämtliche x "versammeln", für die die Summe der Beträge 1 ergibt.
> Das sind doch alle Vektoren der Form [mm]x_i=\vektor{0 \\ . \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ . \\ 0}[/mm] mit 1 an der i-ten Stelle (also die Einheitsvektoren)!
Nein, es z.B. ist [mm] $\parallel [/mm] (0.5, 0.5, [mm] 0)^T\parallel_1=1$. [/mm] Trotzdem ist [mm] $\parallel Ax_3\parallel_1$ [/mm] das gesuchte Maximum!
Ich weiß zwar nicht wie man das für algemeine Matrizen berechnet, aber hier ist es klar, da die dritte Spalte der Matrix einfach in allen Einträgen jeweils größer als die anderen Spalten ist...
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Fr 18.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> > Trotzdem ist [mm]\parallel Ax_3\parallel_1[/mm] das gesuchte
> > Maximum!
> ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich meine [mm] $x_3=(0,0,1)^T$, [/mm] falls das unklar war...
Schau dir nochmal die Erklärung von unten an, dann ist diese Lösung einleuchtend.
> > Ich weiß zwar nicht wie man das für algemeine Matrizen
> > berechnet,
> Das ist die Frage 
Ok, jetzt das ganze mal in Formeln. Du hast die Funktion [mm] $f:\IR^3\ni(x_1,x_2,x_3)\mapsto(12x_1+15x_2+18x_3)\in\IR$ [/mm] (Also einfach mal den Vektor mit der Matrix multipliziert und die Norm davon genommen) Da sollst du das Maximum finden unter der Bedingung, dass [mm] $x_1+x_2+x_3=1$ [/mm] ist. Und, klingelts? Im allgemeinen ist das sicherlich nicht so einfach zu lösen und benötigt dann Analysis im [mm] $\IR^n$.[/mm]
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>Im allgemeinen ist das sicherlich nicht so
> einfach zu lösen und benötigt dann Analysis im [mm]\IR^n[/mm].
Hallo,
nein, großartig Analysis braucht man dafür nicht. Es ist halt ein lästiges Gefrickel mit Summen und Doppelsummen durch die Multpliziererei, aber nichts wirklich Gefährliches. Man schätzt dabei [mm] \parallel{A}\parallel_1 [/mm] nach beiden Seiten ab.
Man findet das sicher auch in Büchern, ich entsinne mich dunkel, daß es bei uns mal Hausübung war.
Gruß v. Angela
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