Norm auf C[0,unendlich[ < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:49 Fr 05.09.2008 | | Autor: | blasack |
Hi, ist mir eigentlich ziemlich peinlich sowas zu fragen, da ich jetzt schon ne ganze weile Mathe studiere. Und jetzt stehe ich wie der Ochse vorm Berg. Mein Problem:
Welche Norm ist auf dem [mm] C[0,\infty[ [/mm] sinvoll? Ich will zeigen, dass eine Folge von Funktionen aus diesem Raum konvergiert, dazu brauche ich natürlich eine sinnvolle Norm. Die normale Supremumsnorm aus C[a,b] bringt mir natürlich herzlich wenig, da Funktionen aus [mm] C[0,\infty[ [/mm] im Allgemeinen nicht beschränkt sind. Habt Ihr da was?
Ciao,
blasack
Ach ja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Fr 05.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hi, ist mir eigentlich ziemlich peinlich sowas zu fragen,
> da ich jetzt schon ne ganze weile Mathe studiere. Und jetzt
> stehe ich wie der Ochse vorm Berg. Mein Problem:
>
> Welche Norm ist auf dem [mm]C[0,\infty[[/mm] sinvoll? Ich will
> zeigen, dass eine Folge von Funktionen aus diesem Raum
> konvergiert, dazu brauche ich natürlich eine sinnvolle
> Norm. Die normale Supremumsnorm aus C[a,b] bringt mir
> natürlich herzlich wenig, da Funktionen aus [mm]C[0,\infty[[/mm] im
> Allgemeinen nicht beschränkt sind. Habt Ihr da was?
Fuer Konvergenzen brauchst du nicht umbedingt eine Norm; etwas was einen Grossteil der Normeigenschaften erfuellt reicht schon voellig aus, um eine Topologie zu erzeugen.
Alternativ kannst du auch ein System von Halbnormen verwenden. Z.B. folgendes:
Fuer jedes Intervall $[a, b]$ hast ja eine Halbnorm [mm] $\| \bullet \|_{[a, b]} [/mm] : [mm] C\left[0, \infty\right[ \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] gegeben durch $f [mm] \mapsto \sup_{x \in [a, b]} [/mm] |f(x)|$.
Wenn du etwa die Intervalle $[n, n+1]$ nimmst, $n [mm] \in \IN$, [/mm] bekommst du ein System von Halbnormen welches ``alles abdeckt''. Dies macht $C[0, [mm] \infty[$ [/mm] zu einem ![[]](/images/popup.gif) lokalkonvexen Raum.
Mit diesem abzaehlbaren System von Halbnormen kannst du dir uebrigens eine Metrik basteln: zu Funktionen $f, g [mm] \in [/mm] C[0, [mm] \infty[$ [/mm] definiere $d(f, g) := [mm] \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} \frac{\| f - g \|_{[n, n+1]}}{1 + \| f - g \|_{[n, n+1]}}$.
[/mm]
Bzgl. dieser Metrik (oder als topologischer Vektorraum bzgl. der lokalkonvexen Topologie, welche genau die gleiche Topologie liefert wie diese Metrik) ist der Raum Hausdorffsch.
Vermutlich liefert das genau die Topologie die du haben willst, in meinen Augen ist sie zumindest das sinnvollste was ich mir vorstellen kann.
Eine echte Norm auf $C[0, [mm] \infty[$ [/mm] faellt mir nicht ein, und ich vermute mal es gibt auch keine schoene.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Fr 05.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
Vielleicht noch eine Anmerkung: du kannst die Intervalle $[n, n+1]$, $n [mm] \in \IN$ [/mm] durch jede andere Folge von kompakten Teilmengen [mm] $K_n \subseteq \left[0, \infty\right[$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] ersetzen, fuer die [mm] $\bigcup_{n\in\IN} K_n [/mm] = [mm] \left[0, \infty\right[$ [/mm] gilt. Das sollte genau die gleiche Topologie auf $C[0, [mm] \infty[$ [/mm] liefern.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Sa 06.09.2008 | | Autor: | blasack |
Ich werde mal sehen, was ich aus diesem Tipp machen kann. Danke schon mal vielmals für diesen Denkanstoß.
MfG
blasack
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 20.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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