Norm auf VR über Q? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
ich habe eine Frage zu normierten Räumen. Kann man einen normierten Raum über [mm] \IQ [/mm] bilden? Vollständig braucht ein (nicht vollständiger) normierter Raum ja nicht zu sein, allerdings lese ich in der Normdefinition, dass jedem Vektor mit der Norm eine nichtnegative reelle Zahl zugeordnet wird. Problem mit z.B. [mm] $(1,1)\in\mathbb Q^2$: $$\Vert (1,1)\Vert_{eukl.}=\sqrt(2)\notin\mathbb [/mm] Q$$ - gibt dies einen Konflikt mit der Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit Skalaren aus dem Körper?
Wäre SEHR dankbar für Aufklärung!
Herzlichst,
Lorenz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Fr 30.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich habe eine Frage zu normierten Räumen. Kann man einen
> normierten Raum über [mm]\IQ[/mm] bilden?
Klar.
> Vollständig braucht ein
> (nicht vollständiger) normierter Raum ja nicht zu sein,
> allerdings lese ich in der Normdefinition, dass jedem
> Vektor mit der Norm eine nichtnegative reelle Zahl
reell! Eben!
> zugeordnet wird. Problem mit z.B. [mm]$(1,1)\in\mathbb Q^2$:[/mm]
> [mm]\Vert (1,1)\Vert_{eukl.}=\sqrt(2)\notin\mathbb Q[/mm] - gibt
> dies einen Konflikt mit der Abgeschlossenheit bzgl. der
> Multiplikation mit Skalaren aus dem Körper?
Nein. Oben ist kein Problem. [m]\sqrt{2}[/m] ist reell, also alles okay. Die Aufgabe, einen Norm zu finden, die tatsächlich nur Werte in [m]\IQ[/m] annimmt überlasse ich dir.
SEcki
|
|
|
| |
|
Hallo Secki,
danke für die schnelle und hilfreiche Antwort. Dass mit der Supremumsnorm (im [mm] $\mathbb Q^2$ [/mm] Maximumsnorm) nur Werte aus [mm] $\mathbb [/mm] Q$ angenommen werden ist mir klar!
Allerdings bin ich immer noch etwas skeptisch und zwar deshalb, weil mit der euklidischen auf [mm] $\mathbb Q^2$ [/mm] z.B. der genannte Vektor $(1,1)$ nicht normiert werden kann auf die Länge 1 - ist es nicht "Pflicht", dass in einem normierten Raum, ALLE Vektoren normierbar sind?
Gruß,
Lorenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Fr 30.04.2010 | | Autor: | pelzig |
> Allerdings bin ich immer noch etwas skeptisch und zwar
> deshalb, weil mit der euklidischen auf [mm]\mathbb Q^2[/mm] z.B. der
> genannte Vektor [mm](1,1)[/mm] nicht normiert werden kann auf die Länge 1
Richtig.
> ist es nicht "Pflicht", dass in einem normierten
> Raum, ALLE Vektoren normierbar sind?
... ein normierter Raum ist ein Vektorraum mit einer Norm. Ende Gelände.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Hallo pelzig,
auch Dir herzlichen Dank!
Wenn ich also ein Fazit wagen darf - ist ein Körper nicht abgeschlossen, so kann NICHT jeder Vektor des über diesem Körper gebildeten Vektorraums normiert werden. OK? (Dies ist dann wirklich meine letzte Rückfrage, versprochen!)
Gruß,
Lorenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Fr 30.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich also ein Fazit wagen darf
Fragen als Fragen fragen!
> - ist ein Körper nicht
> abgeschlossen, so kann NICHT jeder Vektor des über diesem
> Körper gebildeten Vektorraums normiert werden. OK? (Dies
> ist dann wirklich meine letzte Rückfrage, versprochen!)
Falsch. Was du auch weißt - denn die Maximumsnorm nimmt nur werte in [m]\IQ[/m] an. Für die euklidische Metrik reicht der Körper der konstruierbaren Zahlen (denn die Wurzel ist konstruierbar).
SEcki
|
|
|
|
