Norm berechnen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Do 17.05.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das folgende Funktional im Dualraum von $C[-1,1]$ liegt und berechnen Sie seine Norm:
[mm] $g(f)=\int_0^1f(x)dx$. [/mm] |
Hallo,
wenn ich zeigen soll, dass g im entsprechenden Dualraum ist, muss ich doch eigentlich nur noch Linearität nachweisen, oder? Das ist hier ja offensichtlich.
Die Norm ist so definiert:
[mm] $\Vert g\Vert=\underset{\Vert f\Vert=1}{\mbox{sup}}\vert g(f)\vert$
[/mm]
Nun ist [mm] $|g(f)|=$\vert g(f)\vert=\vert\int_{0}^{1}f(x)dx\vert\leq\int_{0}^{1}\vert f(x)\vert dx\leq\underset{x\in[0,1]}{\sup}\vert f(x)\vert=\Vert f\Vert=1$,
[/mm]
wobei ich dann für die Norm auf C[-1,1] die Supremumsnorm benutzt hab.
Wenn ich $f(x)=1$ einsetze, steht überall Gleichheit, woraus ich folgern würde, dass [mm] $\Vert [/mm] g [mm] \Vert=1$. [/mm] Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Do 17.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass das folgende Funktional im Dualraum von
> [mm]C[-1,1][/mm] liegt und berechnen Sie seine Norm:
> [mm]g(f)=\int_0^1f(x)dx[/mm].
steht da nicht [mm] $\int_{\red{-1}}^1 [/mm] f(x)dx$? Nicht, dass es nicht so wie oben sein könnte - aber hier passieren ja schnell mal Verschreiber. Ich gehe aber mal davon aus, dass Du wirklich [mm] $\int_{\red{0}}^1$ [/mm] gemeint hast und das auch so in der Aufgabe steht.
> Hallo,
>
> wenn ich zeigen soll, dass g im entsprechenden Dualraum
> ist, muss ich doch eigentlich nur noch Linearität
> nachweisen, oder? Das ist hier ja offensichtlich.
Der Dualraum von $C[-1,1]$ ist ja gerade [mm] $\{h: C[-1,1] \to \IR, \; h \text{ ist linear}\}\,.$
[/mm]
Offensichtlich ist $g: C[-1,1] [mm] \to \IR\,.$ [/mm]
Es bleibt die Linearität, die zwar eigentlich auch offensichtlich ist, nachzurechnen. Obwohl sie für Dich offensichtlich ist, sollte man es aber dennoch erläutern:
Für [mm] $f_1,f_2 \in [/mm] C[-1,1]$ gilt wegen [mm] $\int_{0}^1 (f_1(x)+f_2(x))dx=\int_0^1f_1(x)dx+\int_0^1 f_2(x)dx$ [/mm] sodann... etc. pp..
Analog dann [mm] $\int \alpha [/mm] f(x)dx=...$
(Man kann auch beides in einem Wischwasch machen: [mm] $g(\alpha f+\beta h)=\alpha\; g(f)+\beta \;g(h)$ [/mm] für $f,h [mm] \in [/mm] C[-1,1]$ und reelle Skalare [mm] $\alpha,\beta$ [/mm] wäre dann nachzuweisen.)
>
> Die Norm ist so definiert:
> [mm]\Vert g\Vert=\underset{\Vert f\Vert=1}{\mbox{sup}}\vert g(f)\vert[/mm]
>
> Nun ist [mm]$|g(f)|=$\vert g(f)\vert=\vert\int_{0}^{1}f(x)dx\vert\leq\int_{0}^{1}\vert f(x)\vert dx\leq\underset{x\in[0,1]}{\sup}\vert f(x)\vert=\Vert f\Vert=1$,[/mm]
>
> wobei ich dann für die Norm auf C[-1,1] die Supremumsnorm
> benutzt hab.
> Wenn ich [mm]f(x)=1[/mm] einsetze,
Du meinst die Funktion konstant [mm] $1\,.$ [/mm] Ich würde das eher so schreiben: [mm] $f=1\,,$ [/mm] oder Du schreibst sowas wie "$f(x):=1$ für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$". Ergänzen würde ich auch: "..., insbesondere ist dann offenbar [mm] $f\,$ [/mm] stetig auf [mm] $[-1,1]\,,$..."
[/mm]
> steht überall Gleichheit,
> woraus ich folgern würde, dass [mm]\Vert g \Vert=1[/mm]. Ist das
> richtig?
Ja, das sehe ich auch so. Mal ganz penibel:
Für jedes $f [mm] \in [/mm] C[-1,1]$ mit [mm] $\|f\|_\infty=1$ [/mm] gilt offenbar
[mm] $$|g(f)|=\vert \int_{0}^1 [/mm] f(x)dx [mm] \vert \le (1-0)\|f\|_\infty=1\,,$$
[/mm]
also ist
[mm] $$\|g\| \le 1\,.$$
[/mm]
Betrachtet man die auf $[-1,1]$ definierte Funktion [mm] $f:=1\,,$ [/mm] so ist offenbar dieses [mm] $f\,$ [/mm] stetig auf [mm] $[-1,1]\,,$ [/mm] es ist [mm] $\|f\|_\infty=1$ [/mm] und wegen
[mm] $$|g(f)|=1\,$$
[/mm]
folgt dann auch [mm] $\|g\| \ge 1\,.$ [/mm] Insgesamt also [mm] $\|g\|=1\,.$
[/mm]
Die Frage ist nur: In der Definition von [mm] $\|g\|:$ [/mm] Sind da wirklich die [mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $\|f\|_\infty=1$ [/mm] gemeint? Oder ist [mm] $\|f\|$ [/mm] da eine andere Norm. Das musst Du aber selber nachgucken - vielleicht ergibt es sich aus dem Zusammenhang, oder irgendwo im Skript steht mehr dazu. Ich hätte auch [mm] $\|f\|=\|f\|_\infty$ [/mm] angenommen, wenn nix weiter dabeisteht - denn das ist die naheliegendste...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Unk |
> steht da nicht [mm]\int_{\red{-1}}^1 f(x)dx[/mm]? Nicht, dass es
> nicht so wie oben sein könnte - aber hier passieren ja
> schnell mal Verschreiber. Ich gehe aber mal davon aus, dass
> Du wirklich [mm]\int_{\red{0}}^1[/mm] gemeint hast und das auch so
> in der Aufgabe steht.
Genau, ich meinte schon 0 und 1 als Grenzen. Ich habe mich aber gefragt, was denn passieren würde, wenn ich z.B. [mm] $g(f)=\int_{-1}^0f(x)dx-\int_{0}^1f(x)dx$
[/mm]
nehme? Irgendwie kommt da bei mir im Kopf immer Null bei der Norm von g raus, was ja aber nur sein kann, wenn f=0 wäre. Das geht ja nicht, weil f Norm 1 hat, bei der Berechnung der Norm von g. Wie kann man das denn vernünftig abschätzen?
> > Hallo,
> >
> > wenn ich zeigen soll, dass g im entsprechenden Dualraum
> > ist, muss ich doch eigentlich nur noch Linearität
> > nachweisen, oder? Das ist hier ja offensichtlich.
>
> Der Dualraum von [mm]C[-1,1][/mm] ist ja gerade [mm]\{h: C[-1,1] \to \IR, \; h \text{ ist linear}\}\,.[/mm]
>
> Offensichtlich ist [mm]g: C[-1,1] \to \IR\,.[/mm]
> Es bleibt die Linearität, die zwar eigentlich auch
> offensichtlich ist, nachzurechnen. Obwohl sie für Dich
> offensichtlich ist, sollte man es aber dennoch erläutern:
> Für [mm]f_1,f_2 \in C[-1,1][/mm] gilt wegen [mm]\int_{0}^1 (f_1(x)+f_2(x))dx=\int_0^1f_1(x)dx+\int_0^1 f_2(x)dx[/mm]
> sodann... etc. pp..
>
> Analog dann [mm]\int \alpha f(x)dx=...[/mm]
>
> (Man kann auch beides in einem Wischwasch machen: [mm]g(\alpha f+\beta h)=\alpha\; g(f)+\beta \;g(h)[/mm]
> für [mm]f,h \in C[-1,1][/mm] und reelle Skalare [mm]\alpha,\beta[/mm] wäre
> dann nachzuweisen.)
Eigentlich braucht man ja auch nur [mm]g(\alpha f+ h)=\alpha\ g(f)+ g(h) [/mm] für die Linearität.
>
> >
> > Die Norm ist so definiert:
> > [mm]\Vert g\Vert=\underset{\Vert f\Vert=1}{\mbox{sup}}\vert g(f)\vert[/mm]
>
> >
> > Nun ist [mm]$|g(f)|=$\vert g(f)\vert=\vert\int_{0}^{1}f(x)dx\vert\leq\int_{0}^{1}\vert f(x)\vert dx\leq\underset{x\in[0,1]}{\sup}\vert f(x)\vert=\Vert f\Vert=1$,[/mm]
>
> >
> > wobei ich dann für die Norm auf C[-1,1] die Supremumsnorm
> > benutzt hab.
> > Wenn ich [mm]f(x)=1[/mm] einsetze,
>
> Du meinst die Funktion konstant [mm]1\,.[/mm] Ich würde das eher so
> schreiben: [mm]f=1\,,[/mm] oder Du schreibst sowas wie "[mm]f(x):=1[/mm] für
> alle [mm]x \in [-1,1][/mm]". Ergänzen würde ich auch: "...,
> insbesondere ist dann offenbar [mm]f\,[/mm] stetig auf
> [mm][-1,1]\,,[/mm]..."
>
> > steht überall Gleichheit,
> > woraus ich folgern würde, dass [mm]\Vert g \Vert=1[/mm]. Ist das
> > richtig?
>
> Ja, das sehe ich auch so. Mal ganz penibel:
> Für jedes [mm]f \in C[-1,1][/mm] mit [mm]\|f\|_\infty=1[/mm] gilt offenbar
> [mm]|g(f)|=\vert \int_{0}^1 f(x)dx \vert \le (1-0)\|f\|_\infty=1\,,[/mm]
>
> also ist
> [mm]\|g\| \le 1\,.[/mm]
>
> Betrachtet man die auf [mm][-1,1][/mm] definierte Funktion [mm]f:=1\,,[/mm]
> so ist offenbar dieses [mm]f\,[/mm] stetig auf [mm][-1,1]\,,[/mm] es ist
> [mm]\|f\|_\infty=1[/mm] und wegen
> [mm]|g(f)|=1\,[/mm]
> folgt dann auch [mm]\|g\| \ge 1\,.[/mm] Insgesamt also [mm]\|g\|=1\,.[/mm]
>
> Die Frage ist nur: In der Definition von [mm]\|g\|:[/mm] Sind da
> wirklich die [mm]f\,[/mm] mit [mm]\|f\|_\infty=1[/mm] gemeint? Oder ist [mm]\|f\|[/mm]
> da eine andere Norm. Das musst Du aber selber nachgucken -
> vielleicht ergibt es sich aus dem Zusammenhang, oder
> irgendwo im Skript steht mehr dazu. Ich hätte auch
> [mm]\|f\|=\|f\|_\infty[/mm] angenommen, wenn nix weiter dabeisteht -
> denn das ist die naheliegendste...
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > steht da nicht [mm]\int_{\red{-1}}^1 f(x)dx[/mm]? Nicht, dass es
> > nicht so wie oben sein könnte - aber hier passieren ja
> > schnell mal Verschreiber. Ich gehe aber mal davon aus, dass
> > Du wirklich [mm]\int_{\red{0}}^1[/mm] gemeint hast und das auch so
> > in der Aufgabe steht.
>
> Genau, ich meinte schon 0 und 1 als Grenzen. Ich habe mich
> aber gefragt, was denn passieren würde, wenn ich z.B.
> [mm]g(f)=\int_{-1}^0f(x)dx-\int_{0}^1f(x)dx[/mm]
> nehme? Irgendwie kommt da bei mir im Kopf immer Null bei
> der Norm von g raus, was ja aber nur sein kann, wenn f=0
> wäre. Das geht ja nicht, weil f Norm 1 hat, bei der
> Berechnung der Norm von g. Wie kann man das denn
> vernünftig abschätzen?
naja, wenn [mm] $g(f)=\int_{-1}^0f(x)dx-\int_{0}^1f(x)dx$ [/mm] wäre, dann wäre doch [mm] $g(f)=0\,$ [/mm] schon für jedes gerade stetige [mm] $f\,$ [/mm] auf $[-1,1]$ (man nennt eine Funktion gerade, wenn [mm] $f(-x)=f(x)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in D_f\,,$ [/mm] wobei [mm] $D_f$ [/mm] "symmetrisch um die [mm] $0\,$ [/mm] liegen sollte").
Dass dann da nicht ständig [mm] $g(f)=0\,$ [/mm] wäre, siehst Du durch Betrachtung ungerader stetiger Funktionen (kurz [mm] $f(-x)=-f(x)\,$) [/mm] - etwa [mm] $f(x)=x\,.$
[/mm]
>
> > > Hallo,
> > >
> > > wenn ich zeigen soll, dass g im entsprechenden Dualraum
> > > ist, muss ich doch eigentlich nur noch Linearität
> > > nachweisen, oder? Das ist hier ja offensichtlich.
> >
> > Der Dualraum von [mm]C[-1,1][/mm] ist ja gerade [mm]\{h: C[-1,1] \to \IR, \; h \text{ ist linear}\}\,.[/mm]
>
> >
> > Offensichtlich ist [mm]g: C[-1,1] \to \IR\,.[/mm]
> > Es bleibt die Linearität, die zwar eigentlich auch
> > offensichtlich ist, nachzurechnen. Obwohl sie für Dich
> > offensichtlich ist, sollte man es aber dennoch erläutern:
> > Für [mm]f_1,f_2 \in C[-1,1][/mm] gilt wegen [mm]\int_{0}^1 (f_1(x)+f_2(x))dx=\int_0^1f_1(x)dx+\int_0^1 f_2(x)dx[/mm]
> > sodann... etc. pp..
> >
> > Analog dann [mm]\int \alpha f(x)dx=...[/mm]
> >
> > (Man kann auch beides in einem Wischwasch machen: [mm]g(\alpha f+\beta h)=\alpha\; g(f)+\beta \;g(h)[/mm]
> > für [mm]f,h \in C[-1,1][/mm] und reelle Skalare [mm]\alpha,\beta[/mm] wäre
> > dann nachzuweisen.)
> Eigentlich braucht man ja auch nur [mm]g(\alpha f+ h)=\alpha\ g(f)+ g(h)[/mm]
> für die Linearität.
Joa, das stimmt: Das ist sogar noch kürzer, und äquivalent zu den anderen Linearitätscharakterisierungen.
Gruß,
Marcel
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