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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Norm der Jacobi Matrix
Norm der Jacobi Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Norm der Jacobi Matrix: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Do 01.03.2018
Autor: Yomu

Hallo Forum,

Auf der Wikipediaseite zu relative Kondition kann man lesen:

[mm] $\kappa_{rel}=\limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(\tilde{x})-f(x)) ||}{||\tilde{x}-x||} \frac{||x||}{||f(x)||}$ [/mm] . Ist f an der Stelle x differenzierbar dann folgt

$ [mm] \kappa_{rel}= \frac{||Df(x)||||x||}{||f(x) ||} [/mm] $ . Wobei $Df(x)$ die Jacobi Matrix von $f$ an der Stelle $x$ und die Norm $|| Df(x)||$ eine mit der verwendeten Vektornorm vertraegliche Matrixnorm ist.


Das heisst ja dann dass gilt:

[mm] $\limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(\tilde{x})-f(x)) ||}{||\tilde{x}-x||} [/mm] = [mm] \sup_{||y||=1}\frac{||Df(x)y||}{||y||}$ [/mm]

Das ist zwar zu erwarten, aber es ist für mich nicht offensichtlich, ich hab es versucht mithilfe von
[mm] $\limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(x)-f(\tilde{x}) - Df(x)(x-\tilde{x}) ||}{||x-\tilde{x}||}=0$ [/mm] aber hab es nicht hinbekommen.


Waer schoen wenn mir einer zeigen koennte wieso das gilt,
Mit freundlichen Gruessen,
Yomu

        
Bezug
Norm der Jacobi Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Do 01.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

erstmal gilt offensichtlich: [mm] $\sup_{||y||=1}\frac{||Df(x)y||}{||y||} [/mm] = [mm] \sup_{||y||=1}||Df(x)y||$ [/mm]
Nun setze ich mal $v = [mm] \tilde{x} [/mm] - x$  und damit erhalten wir unter Berücksichtigung von [mm] $\tilde{x} \to [/mm] x [mm] \gdw [/mm] v [mm] \to [/mm] 0 [mm] \gdw ||v||\to [/mm] 0$ sowie nach Definition der Differenzierbarkeit:

$ [mm] \limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(\tilde{x})-f(x)) ||}{||\tilde{x}-x||} [/mm] = [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \frac{||Df(x)\cdot v + r(v)||}{||v||} [/mm] = [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \left|\left|Df(x)\frac{v}{||v||} + \frac{r(v)}{||v||}\right|\right|$ [/mm]

Nach Voraussetzung (Differenzierbarkeit) gilt [mm] $\frac{r(v)}{||v||} \to [/mm] 0$ für $||v|| [mm] \to [/mm] 0$ und wir erhalten:

$= [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \left|\left|Df(x)\frac{v}{||v||} \right|\right| [/mm] $

Kannst du nun selbst zeigen, dass gilt:

$ [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \left|\left|Df(x)\frac{v}{||v||} \right|\right| [/mm]  = [mm] \sup_{||v||=1}||Df(x)v||$ [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Norm der Jacobi Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:52 Fr 02.03.2018
Autor: Yomu

Hallo Gono,

Vielen Dank fuer deine Antwort, das hat mir sehr geholfen!

Mit freundlichen Gruessen,
Yomu

Bezug
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