Norm von Integral abschätzen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] D\subset\IR^{n} [/mm] konvex und offen, [mm] f:=D\to\IR^{n} [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit gleichmäßig beschränkter Jacobi-Matrix [mm] $\sup_{x\inD}||J_{f}(x)||_{2}\le K_{2} [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
a) Zeige, dass f dann in D Lipschitz-stetig zur Konstanten [mm] K_{2} [/mm] ist, d.h. [mm] ||f(y)-f(x)||_{2}\le K_{2}*||y-x||_{2}, x,y\in [/mm] D.
b) Gilt eine analoge Aussage auch, wenn man die Spektralnorm [mm] ||.||_{2} [/mm] durch eine beliebige andere natürliche Matrixnorm ersetzt (entsprechend die Vektornormen ersetzen!) ? |
Hallo!
Es geht mir um Aufgabe b). Ich denke, die Antwort lautet "ja". Allerdings kann ich es nicht zeigen. Evtl. darf man auch annehmen, dass f stetig differenzierbar ist, aber eigentlich soll man es ohne diese Annahme zeigen.
Ich bin soweit:
Mit $h = y-x:$, und dem Mittelwertsatz:
$||f(y)-f(x)|| =||f(x+h)-f(x)|| = [mm] ||\int_{0}^{1}J_{f}(x+s*h)*h [/mm] ds||$
[mm] $\overset{\le}{(\*)} \int_{0}^{1}||J_{f}(x+s*h)*h|| [/mm] ds$
Nun, weil die Matrixnorm verträglich mit Vektornorm:
[mm] $\le \left(\int_{0}^{1}||J_{f}(x+s*h)|| ds\right)*||h||$
[/mm]
[mm] $\le K_{2}*||h|| [/mm] = [mm] K_{2}*||y-x||$.
[/mm]
Allerdings kann ich den Schritt (*) nicht beweisen, auch wenn er wahrscheinlich gilt (?). Zu zeigen wäre für eine Funktion [mm] v:\IR\to\IR^{n}, [/mm] v = [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] dass [mm] $||\int_{0}^{1}v(s)ds||\le \int_{0}^{1}||v(s)|| [/mm] ds$ für jede beliebige Vektornorm gilt. Ich habe folgendes versucht:
[mm] $||\int_{0}^{1}v(s)ds|| [/mm] := [mm] ||\vektor{\int_{0}^{1}v_1(s)ds\\...\\\int_{0}^{1}v_n(s)ds}||$
[/mm]
Wir wählen nun für alle Funktionen gleichzeitig dieselbe Folge von Zerlegungen (Riemann-Summe) des Intervalls [0,1] (darf man das?), wobei [mm] x_k [/mm] die Stützstellen, [mm] h_k [/mm] die Intervalllängen sind:
$= [mm] ||\vektor{\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{N}v_1(x_k)*h_k\\...\\ \lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{N}v_n(x_k)*h_k}||$
[/mm]
Nun Dreiecksungleichung, Stetigkeit der Norm, Homogenität der Norm:
[mm] $\le \lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{N}||\vektor{v_1(x_k)\\...\\ v_n(x_k)}||*|h_k|$
[/mm]
$= [mm] \lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{N}||v(s_k)||*h_k$
[/mm]
$= [mm] \int_{0}^{1}||v(s)|| [/mm] ds$.
Kann man das so machen? Es ist ja die Frage, ob das Integral überhaupt existiert. Muss ich noch etwas beachten?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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Hiho,
so wirklich schwer würde ich es mir gar nicht machen.
Beweis den Satz für die Maximumsnorm (dort ist das trivial) und für die restlichen Normen gilt er dann aufgrund der Äquivalenzen der Normen im [mm] \IR^n.
[/mm]
Verwenden musst du da nur, dass die Ungleichung im eindimensionalen mit dem Betrag gilt. Willst du das auch noch beweisen? Wobei ich sagen würde, gewisse Grundkenntnisse kannst du auf dem Niveau auch voraussetzen 
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
danke für deine Antwort!
> so wirklich schwer würde ich es mir gar nicht machen.
> Beweis den Satz für die Maximumsnorm (dort ist das
> trivial) und für die restlichen Normen gilt er dann
> aufgrund der Äquivalenzen der Normen im [mm]\IR^n.[/mm]
> Verwenden musst du da nur, dass die Ungleichung im
> eindimensionalen mit dem Betrag gilt. Willst du das auch
> noch beweisen? Wobei ich sagen würde, gewisse
> Grundkenntnisse kannst du auf dem Niveau auch voraussetzen
Ist die Maximumsnorm denn die "größte" Norm?
Weil wenn ich eine Norm ||.|| nehme, so gilt zwar
[mm] $c*||x||_{\infty} \le [/mm] ||x|| [mm] \le C*||x||_{\infty}$
[/mm]
aber ich bekomme damit ja nur:
[mm] $||\int_{0}^{1}v(s) [/mm] ds||$
[mm] $\le C*||\int_{0}^{1}v(s) ds||_{\infty}$
[/mm]
[mm] $\le C*\int_{0}^{1}||v(s)||_{\infty} [/mm] ds$
[mm] $\le \frac{C}{c}*\int_{0}^{1}||v(s)|| [/mm] ds$.
Ich brauche aber [mm] $\frac{C}{c} [/mm] = 1$, also ohne den Vorfaktor, sonst bekomme ich nicht die konkret in der Aufgabe gegebene L-Konstante...
Was kann man da tun?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 12.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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