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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= [mm] \wurzel{25-x^{2}}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Normale in einem beliebigen Punkt P(a/f(a)) durch den Ursprung geht!
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Hallo zusammen,
Man weiß ja, dass die Normalensteigung:
[mm] -\bruch{1}{f '(x)} [/mm] ist!?
Jetzt weiß ich aber nicht mehr genau wie man diesen Term ableitet!?
Wie lässt sich der beliebig gewählte Punkt ausdrücken und warum?
Dann müsste ich den x/y Wert des Punktes in Y=mx+c einsetzen uns sollte für c 0 rausbekommen,
aber der Weg dorthin ist mir noch nicht so ganz klar=)
Wär nett, wenn mir schnell jemand helfen könnte!
MFG
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> Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= [mm]\wurzel{25-x^{2}}[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Normale in einem beliebigen Punkt
> P(a/f(a)) durch den Ursprung geht!
>
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> Hallo zusammen,
> Man weiß ja, dass die Normalensteigung:
> [mm]-\bruch{1}{f '(x)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist!?
> Jetzt weiß ich aber nicht mehr genau wie man diesen Term
> ableitet!?
> Wie lässt sich der beliebig gewählte Punkt ausdrücken und
> warum?
> Dann müsste ich den x/y Wert des Punktes in Y=mx+c
> einsetzen uns sollte für c 0 rausbekommen,
> aber der Weg dorthin ist mir noch nicht so ganz klar=)
> Wär nett, wenn mir schnell jemand helfen könnte!
> MFG
Zur Ableitung:
$ f(x)=\wurzel{25-x^{2}}=(25-x^2)^{\bruch{1}{2}} $
$ f'(x)=\bruch{1}{2}*(25-x^2)^{-\bruch{1}{2}}*(-2x)=-\bruch{x}{\wurzel{25-x^2} $
Damit ergibt sich für die Steigung m_n der normalen:
$ m_n=-\bruch{1}{f '(x)}=-\bruch{1}{-\bruch{x}{\wurzel{25-x^2}}}=+\bruch{\wurzel{25-x^2}}{x} $
Nun haben wir also die Normalengleichung:
$ n(x)=\bruch{\wurzel{25-x^2}}{x}*x+b $
Nun setzen wir den geforderten beliebigen Punkt $ P(a/f(a)) = P(a/ \wurzel{25-a^2}) $ ein:
$ n(a)=\bruch{\wurzel{25-a^2}}{a}*a+b= \wurzel{25-a^2} $
Daraus folgt: b=0
Damit geht n(x) durch O
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 So 19.10.2008 | | Autor: | Theoretix |
Vielen Dank für die schnelle Antwort, hab's jetzt verstanden=)
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