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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Sa 07.06.2008 | | Autor: | DaReava |
| Aufgabe | Zu Beweisen/Wiederlegen:
(a) [mm] $A\in Mat(n,n;\IC)$ [/mm] normal, [mm] $P\in \IC[X]$ \Rightarrow $ev_A(P)$ [/mm] normal
(b) [mm] $A,B\in Mat(n,n;\IC)$ [/mm] normal [mm] \Rightarrow [/mm] $AB$ normal |
Hallo!
Ich glaube obige Aufgaben gelöst zu haben, bin mir aber nicht ganz sicher, ob die Lösung stimmt, da ich mir bei einigen Annahmen nicht ganz sicher bin, ob sie stimmen.
Wäre nett, wenn sich jemand das anschauen könnte und mitteilen, ob das so stimmt.
Zu (a):
Beh: Die Aussage ist korrekt
Bew:
Sei $A$ normal. Aus dem Spekralsatz folgt dann:
Es gibt eine unitäre Matrix $U$, sd [mm] $UAU^{\*}=D$ [/mm] diagonal.
Folgere daraus:
[mm] $D^n=UAU^{\*}*UAU^{\*}*...*UAU^{\*}=UA^nU^{\*}$ [/mm] diagonal.
Aus denn Annahmen
(1) für [mm] $c\in \IC$ [/mm] und $A$ normal gilt $cA$ normal,
(2) für $A,B$ normal gilt $A+B$ normal
wäre dann zu folgern:
[mm] $ev_A(P)=c_nA^n+...+c_1A+c_0I$ [/mm] normal, da auch $c_0I$ diagonal, also normal.
Sind diese beiden Annahmen erlaubt?
Zu (b):
Wieder der Spektralsatz:
$A,B$ normal, also [mm] $UAU^{\*}$ [/mm] und [mm] $VBV^{\*}$ [/mm] diagonal.
Somit [mm] $UAU^{\*} VBV^{\*}$diagonal \Rightarrow [/mm] $AB$ normal.
Bin mir in diesen Themen bin ich wie gesagt nicht ganz sicher,
denke aber eigentlich, dass meine Lösung stimmen sollte, wenn ich da jetzt nichts wichtiges übersehen habe.
Grüße und Dank im Vorraus, reava.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mo 09.06.2008 | | Autor: | fred97 |
a) ist O.k., aber b) ist falsch !
Das produkt normaler Matrizen ist i.a. nicht normal. Überlege Dir das im Falle von 2x2 Matrizen.
Es gilt "normal" --> "diagonalisierbar". die Umkehrung ist aber i.a. falsch !
Das war Dein Fehler.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mo 09.06.2008 | | Autor: | DaReava |
Aja, danke.
Habe (b) wie du vorgeschlagen hast anhand des Gegenbeispiels
[mm] $A=\pmat{ 1+i & 0 \\ 0 & 0 }$ [/mm] und [mm] $B=\pmat{ 0 & 1 \\ 1&0 }$ [/mm] widerlegt.
reava
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