Normale Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Mi 22.06.2011 | | Autor: | imzadi |
Guten Morgen,liebe community,
ich habe eine Frage zu Normalmatrizen:
wir haben gelernt,dass Normalmatrizen immer unitär diagonalisierbar sind. Heißt das,dass sie immer veschiedene Eigenwerte haben? Ansonsten könnte ja die diagonalisierende Matrix nicht unitär sein,da ihre Spalten keine ONB bilden würden,oder? Versuche gerade zu zeigen,dass eine normale Matrix A mit einer normalen Matrix B kommutiert,und bei B ist Hinweis " mit verschiedenen Eigenwerten",und dies vewirrt mich ziemlich,für ein Tipp wäre ich sehr dankbar.
Achso,noch ne Kleinigkeit-sind normale Matrizen eigentlich simultan diagonalisierbar?
Danke in Voraus
imzadi
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Mi 22.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,liebe community,
> ich habe eine Frage zu Normalmatrizen:
> wir haben gelernt,dass Normalmatrizen immer unitär
> diagonalisierbar sind. Heißt das,dass sie immer
> veschiedene Eigenwerte haben? Ansonsten könnte ja die
> diagonalisierende Matrix nicht unitär sein,da ihre Spalten
> keine ONB bilden würden,oder?
Die Einheitsmatrix ist normal und unitär, hat aber nur einen Eigenwert.
> Versuche gerade zu
> zeigen,dass eine normale Matrix A mit einer normalen Matrix
> B kommutiert,und bei B ist Hinweis " mit verschiedenen
> Eigenwerten",und dies vewirrt mich ziemlich,für ein Tipp
> wäre ich sehr dankbar.
> Achso,noch ne Kleinigkeit-sind normale Matrizen eigentlich
> simultan diagonalisierbar?
Ja, eine endliche menge von normalen Matrizen hat diese Eigenschaft.
Edit: Felix hat recht. Vertauschbar müssen sie natürlich sein.
FRED
>
> Danke in Voraus
> imzadi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mi 22.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Achso,noch ne Kleinigkeit-sind normale Matrizen
> eigentlich
> > simultan diagonalisierbar?
>
> Ja, eine endliche menge von normalen Matrizen hat diese
> Eigenschaft.
gilt das auch, wenn sie nicht miteinander kommutieren?
Ich denke, man kann doch schnell Gegenbeispiele finden: etwa nimmt man die Matrizen [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }$ [/mm] und [mm] $S^T \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] S$ mit $S = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }$. [/mm] Diese Matrizen kann man doch nicht simultan diagonalisieren, jedoch sind sie normal (da unitaer diag'bar).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mi 22.06.2011 | | Autor: | imzadi |
Also im Allgemeinen sind normale Matrizen nicht simultan diagonalisierbar.
Meine Aufgabe: ich habe eine normale komplexe A und eine normale komplexe B, B hat verschiedene EW. A ist unitär diagonalisierbar,ich kann die also schreiben U D(A)U*=A,U unitär,D(A)diagonale Eigenwertmatrix von A.
B ist auch unitär diagonalisierbar,die schreibe ich als VD(B)V*,V unitär,B diagonale Eigenwertmatrix von B.
Dann: U D(A)U* V D(B)V*=... irgendwie komme ich ab dahin nicht weiter und weiß nicht wie ich die Voraussetzung benutzen soll,dass B verschiedene EW hat,das einzige was ich weiß,dass die Diagonalmatrizen miteinander kommutieren,aber das hilft mir auch nicht weiter...Gibt es noch weitere normale Matrizen mit gleichen EW außer Einheitsmatrix?Danke euch für eure Hilfe.
lg imzadi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mi 22.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also im Allgemeinen sind normale Matrizen nicht simultan
> diagonalisierbar.
> Meine Aufgabe: ich habe eine normale komplexe A und eine
> normale komplexe B, B hat verschiedene EW.
Und vor allem gilt $A B = B A$?
> A ist unitär
> diagonalisierbar,ich kann die also schreiben U D(A)U*=A,U
> unitär,D(A)diagonale Eigenwertmatrix von A.
> B ist auch unitär diagonalisierbar,die schreibe ich als
> VD(B)V*,V unitär,B diagonale Eigenwertmatrix von B.
> Dann: U D(A)U* V D(B)V*=... irgendwie komme ich ab dahin
> nicht weiter und weiß nicht wie ich die Voraussetzung
> benutzen soll,dass B verschiedene EW hat,das einzige was
> ich weiß,dass die Diagonalmatrizen miteinander
> kommutieren,aber das hilft mir auch nicht weiter...Gibt es
> noch weitere normale Matrizen mit gleichen EW außer
> Einheitsmatrix?Danke euch für eure Hilfe.
Nun, zeige, dass die Matrix $V$ von $B$ auch $A$ diagonalisiert, also dass [mm] $V^\ast [/mm] A V$ eine Diagonalmatrix ist.
Dazu musst du zeigen, dass jede Spalte von $V$ ein Eigenvektor von $A$ ist. (Egal zu welchem Eigenwert.) Und hierfuer musst du benutzen, dass $A B = B A$ ist und dass der Eigenraum von $B$, in dem die gewaehlte Spalte von $V$ liegt, eindimensional ist.
(Das bedeutet: ist $v$ die Spalte und [mm] $\lambda$ [/mm] der zugehoerige Eigenwert, so folgt aus $B w = [mm] \lambda [/mm] w$ fuer irgendein $w$ bereits, dass $w$ ein Vielfaches von $v$ ist.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Mi 22.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gibt es
> noch weitere normale Matrizen mit gleichen EW außer
> Einheitsmatrix?Danke euch für eure Hilfe.
Den Teil hatte ich vergessen: wenn die EW alle gleich sind, muss die Matrix ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein. Wenn nur manche gleich sind, andere aber nicht, dann kann die Matrix recht wild aussehen. (Nur weil sie nicht alle verschieden sind muessen sie ja nicht alle gleich sein.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Mi 22.06.2011 | | Autor: | imzadi |
Also,ich muß ja in der Aufgabe zeigen,dass AB=BA,das kann ich nicht benutzen.. Aber danke schon mal für Denkanstoß.
Lg imzadi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Mi 22.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also,ich muß ja in der Aufgabe zeigen,dass AB=BA,das kann
> ich nicht benutzen.. Aber danke schon mal für
> Denkanstoß.
Dann sag doch mal bitte, was eigentlich die Aufgabenstellung ist. Also was gegeben ist und was du zeigen sollst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Mi 22.06.2011 | | Autor: | imzadi |
Sorry,war etwas unübersichtlich,
also: gegeben ist eine komplexe normale quadratische A und eine komplexe normale quadratische B,diese mit paarweise verschiedenen Eigenwerten. Zu zeigen: AB=BA.Vielen Dank für deine Hife.
lg imzadi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Mi 22.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sorry,war etwas unübersichtlich,
> also: gegeben ist eine komplexe normale quadratische A und
> eine komplexe normale quadratische B,diese mit paarweise
> verschiedenen Eigenwerten. Zu zeigen: AB=BA.Vielen Dank
Das stimmt so aber nicht. Fehlt da noch ein "simultan diagonalisierbar"?
Das Beispiel fuer nicht simultan diagonalisierbare Matrizen, was ich hier im Thread irgendwo gegeben hab, ist auch hierfuer ein Gegenbeispiel.
Normale Matrizen sind genau dann simultan diagonalisierbar, wenn sie paarweise kommutieren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Mi 22.06.2011 | | Autor: | imzadi |
Doch,die Aufgabestellung ist korrekt.A normal => A commutes with some normal matrix with distinct eigenvalues.Und andere Richtung muß auch gezeigt werden.Aber danke dir schon für deine Hilfe. Vielleicht ist das irgendwie so gemeint,dass man mit der unitären eindeutig bestimmten U, die B auf Diagonalform bringt ,versucht die A auf eine obere Dreiecksform zu bringen oder so was,muß mir vielleich darüber Gedanken machen. Aber vielen dank,felixf .
lg,imzadi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Mi 22.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Doch,die Aufgabestellung ist korrekt.A normal => A
> commutes with some normal matrix with distinct
> eigenvalues.
Das ist nicht die Aufgabenstellung, die du vorhin genannt hast! Hier geht es darum, zu A eine normale Matrix B zu finden! Vorhin hiess es, A und B sind gegeben.
Also was genau ist denn jetzt die Aufgabenstellung? Ist eine Matrix A gegeben, die normal ist, und du sollst zeigen dass es eine normale Matrix B mit paarweise verschiedenen Eigenwerten gibt, die mit A kommutiert?
> Und andere Richtung muß auch gezeigt
> werden.
Also gegeben Matrizen A und B, B ist normal mit verschiedenen Eigenwerten und A B = B A, und dann ist A normal?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mi 22.06.2011 | | Autor: | imzadi |
Hallo,felixf,
danke,dass du mit mir so viel Geduld hast.Die Aufgabe heißt also: A quadr,kompl,normal <=> es gibt eine normale B aus [mm] C^n,n [/mm] mit n paarw.verschiedenen EW,die mit A kommutiert. Also AB=BA ist ja vorausgesetzt und daraus können wir folgern,dass sie simultan unitär diagonalisierbar sind,...,und am Ende muß raus kommen-B ist normal und hat paarw.verschiedene EW?
lg imzadi
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