Normalenform zu Parameterform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Morbz |
| Aufgabe | | Der Richtungsvektor der Geraden durch O(0/0/0) und P(1/1/1) ist der Normalenvektor der Ebene E. Der Punkt Q(2/1/3) liegt in der Ebene E. Bestimmen Sie eine Paramtergleichung der Ebene. |
Hallo,
ich bin gerade bei der Abiturvorbereitung und habe leider ein kleines Problem mit der oberen Aufgabe.
Mein Lösungsansatz:
[mm] g:\overrightarrow{x}= \overrightarrow{OO} [/mm] + r* [mm] \overrightarrow{OP}
[/mm]
=> [mm] g:\overrightarrow{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r* [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
=> [mm] (\overrightarrow{x} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
=> [mm] (x_{1}-2)*(-1) [/mm] + [mm] (x_{2}-1)*(-1)+ (x_{3}-3)*(-1)=0
[/mm]
=> [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=6
[/mm]
=> [mm] x_{2};x_{3} [/mm] Nullsetzen
[mm] x_{1} [/mm] = 6 => A(6/0/0)
[mm] x_{1};x_{3} [/mm] Nullsetzen
[mm] x_{2} [/mm] = 6 => B(0/6/0)
[mm] x_{1};x_{2} [/mm] Nullsetzen
[mm] x_{3} [/mm] = 6 => C(0/0/6)
=> Paramtergleichung:
E: [mm] (\overrightarrow{OA} [/mm] + r * [mm] (\overrightarrow{AB} [/mm] + s * [mm] (\overrightarrow{AC}
[/mm]
=> Meine Lösung:
E: [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r * [mm] \vektor{-6 \\ 6 \\ 0} [/mm] + s * [mm] \vektor{-6 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Die Lösung laut Buch ist aber:
E: [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + s* [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ist meine Lösung auch richtig oder habe ich einen Fehler gemacht?
Für Antworten wäre ich sehr dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Morbz, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
vorab: Deine Lösung ist vollkommen richtig!
> Der Richtungsvektor der Geraden durch O(0/0/0) und P(1/1/1)
> ist der Normalenvektor der Ebene E. Der Punkt Q(2/1/3)
> liegt in der Ebene E. Bestimmen Sie eine Paramtergleichung
> der Ebene.
> Hallo,
> ich bin gerade bei der Abiturvorbereitung und habe leider
> ein kleines Problem mit der oberen Aufgabe.
>
> Mein Lösungsansatz:
> [mm]g:\overrightarrow{x}= \overrightarrow{OO}[/mm] + r*
> [mm]\overrightarrow{OP}[/mm]
>
> => [mm]g:\overrightarrow{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + r*
> [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
>
> => [mm](\overrightarrow{x}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}[/mm] * [mm]%5Cvektor%7B-1%20%5C%5C%20-1%20%5C%5C%20-1%7D[/mm]
>
> => [mm](x_{1}-2)*(-1)[/mm] + [mm](x_{2}-1)*(-1)+ (x_{3}-3)*(-1)=0[/mm]
>
> => [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=6[/mm]
>
> => [mm]x_{2};x_{3}[/mm] Nullsetzen
> [mm]x_{1}[/mm] = 6 => A(6/0/0)
>
> [mm]x_{1};x_{3}[/mm] Nullsetzen
> [mm]x_{2}[/mm] = 6 => B(0/6/0)
>
> [mm]x_{1};x_{2}[/mm] Nullsetzen
> [mm]x_{3}[/mm] = 6 => C(0/0/6)
>
> => Paramtergleichung:
>
> E: [mm](\overrightarrow{OA}[/mm] + r * [mm](\overrightarrow{AB}[/mm] + s *
> [mm](\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> => Meine Lösung:
> E: [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 0}[/mm] + r * [mm]\vektor{-6 \\ 6 \\ 0}[/mm] + s *
> [mm]\vektor{-6 \\ 0 \\ 6}[/mm]
>
>
> Die Lösung laut Buch ist aber:
> E: [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 0}[/mm] + r * [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + s*
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Das ist die gleiche Ebene, sogar die Richtungsvektoren sind im Prinzip die gleichen, haben eben nur eine unterschiedliche Länge.
> Ist meine Lösung auch richtig oder habe ich einen Fehler
> gemacht?
>
> Für Antworten wäre ich sehr dankbar :)
Alles gut. Mach mal weiter so. 
Grüße
reverend
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