Normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 07.06.2008 | | Autor: | xxxx |
| Aufgabe | Es sei F die Fläche in [mm] \IR^3, [/mm] die durch die Gleichung
P(x,y,z) = [mm] -3x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 -3z^3 [/mm] - 10xz - [mm] 6\wurzel{2}x [/mm] - [mm] 10\wurzel{2}z [/mm] -14 = 0 (1)
bestimmt ist. Ziel der Aufgabe ist die Berechnung der Normalform von F.
a) Bestimmen sie die Matrix [mm] A'=\pmat{ * & * \\ * & A }, [/mm] so dass
P(x,y,z) = (1,x,y,z) A' [mm] \vektor{1 \\ x \\ y \\ z}
[/mm]
b) finden Sie eine Drehmatrix S [mm] \in [/mm] O(3), so dass [mm] S^T [/mm] A S Diagonalgestalt hat. Berechnen Sie das Polynom, dass durch den Koordinatenuebergang [mm] \vektor{ x \\ y \\ z} [/mm] = S [mm] \vektor{ x_1\\ y_1 \\ z_1} [/mm] entsteht; d.h setzen Sie die oben genannte Beziehung in die Gleichung (1) ein.
c) Eliminieren Sie durch quadratische Ergänzung alle linearen Terme, zu denen es einen korrespondierenden quadratischen Term gibt. Falls Sie richtig gerechnet haben, hat in unserem Fall die so entstehende Gleichung keine linearen Terme mehr.
d) Geben Sie die Normalform von F an.
ps:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Also hier habe ich schon das Problem, dass ich nicht so genau weiss, was ich mit dem P anfangen soll.... denn die Normalform ist doch immer eine Matrix oder... nur wie kann ich denn aus dem P eine Matrix kriegen...
den Rest wuerde ich erstmal gerne alleine versuchen, weil viell krieg ich das ja hin, wenn ich weiss, was ich bei der a machen muss und wie ich das P verstehen kann.
Vielen Dank schonmal fuer eure Hilfe
xxxx
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Hallo xxxx,
> Es sei F die Fläche in [mm]\IR^3,[/mm] die durch die Gleichung
> P(x,y,z) = [mm]-3x^2[/mm] + [mm]4y^2 -3z^3[/mm] - 10xz - [mm]6\wurzel{2}x[/mm] -
> [mm]10\wurzel{2}z[/mm] -14 = 0 (1)
> bestimmt ist. Ziel der Aufgabe ist die Berechnung der
> Normalform von F.
Muß das nicht so heißen:
[mm]P(x,y,z) = -3x^2 + 4y^2 -3z^{\blue{2}} - 10xz - 6\wurzel{2}x - 10\wurzel{2}z -14 = 0 (1) [/mm]
>
> a) Bestimmen sie die Matrix [mm]A'=\pmat{ * & * \\ * & A },[/mm] so
> dass
> P(x,y,z) = (1,x,y,z) A' [mm]\vektor{1 \\ x \\ y \\ z}[/mm]
>
> b) finden Sie eine Drehmatrix S [mm]\in[/mm] O(3), so dass [mm]S^T[/mm] A S
> Diagonalgestalt hat. Berechnen Sie das Polynom, dass durch
> den Koordinatenuebergang [mm]\vektor{ x \\ y \\ z}[/mm] = S
> [mm]\vektor{ x_1\\ y_1 \\ z_1}[/mm] entsteht; d.h setzen Sie die
> oben genannte Beziehung in die Gleichung (1) ein.
>
> c) Eliminieren Sie durch quadratische Ergänzung alle
> linearen Terme, zu denen es einen korrespondierenden
> quadratischen Term gibt. Falls Sie richtig gerechnet haben,
> hat in unserem Fall die so entstehende Gleichung keine
> linearen Terme mehr.
>
> d) Geben Sie die Normalform von F an.
>
> ps:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Also hier habe ich schon das Problem, dass ich nicht so
> genau weiss, was ich mit dem P anfangen soll.... denn die
> Normalform ist doch immer eine Matrix oder... nur wie kann
> ich denn aus dem P eine Matrix kriegen...
> den Rest wuerde ich erstmal gerne alleine versuchen, weil
> viell krieg ich das ja hin, wenn ich weiss, was ich bei der
> a machen muss und wie ich das P verstehen kann.
>
> Vielen Dank schonmal fuer eure Hilfe
>
> xxxx
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Sa 07.06.2008 | | Autor: | xxxx |
ja schon, nur um ehrlich zu sein, ich seh da zwar keinen Unterschied zwischen meine und deiner Gleichung aber ja. Die 1 in Klammern bezieht sich darauf, dass ich die Gleichung so genannt habe, weil die später unten nochmal benutz wird...
lg xxxx
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Hallo xxxx,
> ja schon, nur um ehrlich zu sein, ich seh da zwar keinen
> Unterschied zwischen meine und deiner Gleichung aber ja.
> Die 1 in Klammern bezieht sich darauf, dass ich die
> Gleichung so genannt habe, weil die später unten nochmal
> benutz wird...
Dann läßt sich diese quadratische Gleichung auch so schreiben:
[mm]a_{11}*x^{2}+a_{22}*y^{2}+a_{33}*z^{2}[/mm]
[mm]+2*a_{12}*x*y+2*a_{13}*x*z+2*a_{23}*y*z[/mm]
[mm]+2*a_{01}*x+2*a_{02}*y+2*a_{03}*z+a_{00}=0[/mm]
Das läßt sich in Matrixform so schreiben:
[mm]\pmat{1 & x & y & z}\pmat{a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} \\ a_{01} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{01} & a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{03} & a_{13} & a_{23} & a_{33}}\pmat{1 \\ x \\ y \\ z}=0[/mm]
>
> lg xxxx
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 07.06.2008 | | Autor: | xxxx |
und wie genau kommst du darauf... ich seh da irgendwie nicht so den roten faden... bei dem unteren Teil schon, aber bei der Gleichung P nicht, vor allem weil du da ganz andere Zahlen benutzt hast
lg xxxx
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Hallo xxxx,
> und wie genau kommst du darauf... ich seh da irgendwie
> nicht so den roten faden... bei dem unteren Teil schon,
> aber bei der Gleichung P nicht, vor allem weil du da ganz
> andere Zahlen benutzt hast
Ich hab hier keine Zahlen verwendet. Vielmehr bin ich davon ausgegangen,
daß P aufgrund des "unteren Teils" eine quadratische Gleichung sein muß.
>
> lg xxxx
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Sa 07.06.2008 | | Autor: | xxxx |
so leid es mir tut, aber irgendwie versteh ich nicht so ganz worauf du hinauswillst. Wenn ich (1,x,y,z) * [mm] \pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & pb} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ x \\ y \\ z} [/mm] ausrechen komm ich auf eine super horror Gleichung. Nur ich versteh nicht, wie die in Bezug zu P darsteht, besonders weil du weiter oben fuer P andere Sachen benutzt hast... garnicht so wie ich angegeben hatte und das versteh ich einfach nicht....
lg xxxx
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Hallo xxxx,
> so leid es mir tut, aber irgendwie versteh ich nicht so
> ganz worauf du hinauswillst. Wenn ich (1,x,y,z) * [mm]\pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & pb}[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ x \\ y \\ z}[/mm] ausrechen komm ich auf eine
> super horror Gleichung. Nur ich versteh nicht, wie die in
Das hast also ausgerechnet, dann siehst Du, daß alle Variablen x,y,z höchstens bis zur 2. Potenz vorkommen [mm]\left(x^{2}, \ y^{2}, \ z^{2}\right)[/mm].
Die Frage is jetzt, ob z in der Ausgangsgleichung in der 3. Potenz vorkommt.
Meiner Meinung nach ist das [mm]z^{3}[/mm] dann ein Druckfehler.
Falls ja, kann ich den Bezug zu diesem Teil auch nicht herstellen:
[mm]
(1,x,y,z) * \pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & pb} * \vektor{1 \\ x \\ y \\ z}[/mm]
Falls nein:
> Bezug zu P darsteht, besonders weil du weiter oben fuer P
> andere Sachen benutzt hast... garnicht so wie ich angegeben
> hatte und das versteh ich einfach nicht....
Meinst Du die [mm]a_{ij}[/mm]?
Das sind die Koeffizienten der gegebenen Gleichung, so sie stimmt.
Hier gilt dann:
[mm]a_{00}=a, \ a_{01}=b=e, \ a_{02}=c=i, \ a_{03}=d=m[/mm]
[mm]a_{11}=f, \ a_{12}=g=j, \ a_{13}=h=n[/mm]
[mm]a_{22}=k, \ a_{23}=l=o, a_{33}=pb[/mm]
>
> lg xxxx
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 07.06.2008 | | Autor: | xxxx |
sry, dass ist [mm] z^2 [/mm] und ich weiss auch was die einzelnen [mm] a_{00} [/mm] sind und so, aber ich hab jetzt eine Gleichung mit ganz vielen Unbekannten doe gleich Null sein muss. Die kann ich doch garnicht ausrechnen... oder kann ich mich dann an dem P orientieren indem ich sage dass nur Variablen dran kommen, die auch in meinem P enthalten sind.... z.B dass dann mein f = -3 ist, weil [mm] fx^2 [/mm] = -3x ist. kann ich das so setzten... denn wenn nicht, hab ich keine ahnung davon... ich seth hier echt auf dem schlauch....
danke das du mir so super geduldig hilfst... 
lg xxxx
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Hallo xxxx,
> sry, dass ist [mm]z^2[/mm] und ich weiss auch was die einzelnen
> [mm]a_{00}[/mm] sind und so, aber ich hab jetzt eine Gleichung mit
> ganz vielen Unbekannten doe gleich Null sein muss. Die kann
> ich doch garnicht ausrechnen... oder kann ich mich dann an
> dem P orientieren indem ich sage dass nur Variablen dran
> kommen, die auch in meinem P enthalten sind.... z.B dass
> dann mein f = -3 ist, weil [mm]fx^2[/mm] = -3x ist. kann ich das so
> setzten... denn wenn nicht, hab ich keine ahnung davon...
> ich seth hier echt auf dem schlauch....
Du kannst aber einen ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich machen.
Der Koeffizientenvergleich funktioniert auch mit Polynomen in mehreren Variablen.
Vergleiche hier die Koeffizienten Deines Polynoms mit den Koeffizienten von [mm]P\left(x,y,z\right)[/mm].
> danke das du mir so super geduldig hilfst...
>
> lg xxxx
Gruß
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:51 So 08.06.2008 | | Autor: | Chuck86 |
Hi,
a bis c hab ihc jetzt soweit fertig. Aber ich steht total auf dem Schlauch wie ich jetzt auf die Normalform kommen.
Gruß
edit: Frage hat sich erledigt. Habs jetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 10.06.2008 | | Autor: | Alexis |
Hallo
Ich habe mich jetzt mal ein bischen mit dieser Aufgabe beschäftigt, bin aber sehr ratlos bzw unsicher mit meinen zwischenergebnissen.
Habe also erstmal einen Koeffizientenvergleich angestellt und bekomme damit als
[mm] A'=\pmat{-14&-3\wurzel{2}&0&-5\wurzel{2}\\-3\wurzel{2}&-3&-5&0\\0&-5&4&0\\-5\wurzel{2}&0&0&-3}
[/mm]
Also [mm] A=\pmat{-3&-5&0\\-5&4&0\\0&0&-3}
[/mm]
Nun soll ich ja ein S suchen, für das gilt: S^TAS hat Diagonalgestalt.
Somit dachte ich suche ich die Eigenwerte und orthonormiere die Eigenvektoren. Da kommt schon mein erstes Problem das mich dazu führt zu denken, ich hätte einen Fehler mit meiner Matrix A
Ich komme auf [mm] X_A= -x^3-2x^2+40x+111, [/mm] also mein 1. Eigenwert wäre -3 mit Eigenvektor [mm] \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Mein 2. und 3. Eigenwert sind aber: [mm] 1/2\pm 1/2*\wurzel{149}
[/mm]
Laut Skript dachte ich dass symmetrische Matrizen immer relle Eigenwerte haben, ist das falsch?
Wenn mir jemand weiterhelfen könnte wäre ich sehr sehr dankbar,
MfG Alexis
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> Somit dachte ich suche ich die Eigenwerte und orthonormiere
> die Eigenvektoren. Da kommt schon mein erstes Problem das
> mich dazu führt zu denken, ich hätte einen Fehler mit
> meiner Matrix A
>
> Ich komme auf [mm]X_A= -x^3-2x^2+40x+111,[/mm] also mein 1.
> Eigenwert wäre -3 mit Eigenvektor [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> Mein 2. und 3. Eigenwert sind aber: [mm]1/2\pm 1/2*\wurzel{149}[/mm]
>
> Laut Skript dachte ich dass symmetrische Matrizen immer
> relle Eigenwerte haben, ist das falsch?
Hallo,
nein, das ist richtig.
Und Deine Rechnung bestätigt es: [mm] 1/2\pm 1/2*\wurzel{149} [/mm] ist reell. Oder siehst Du irgendwo was Komplexes? (Bitte verwechsele nicht reell und rational...)
Gruß v. Angela
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