www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Geraden und Ebenen" - Normalform Symmetrieebene
Normalform Symmetrieebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Geraden und Ebenen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Normalform Symmetrieebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:39 So 02.03.2008
Autor: el_grecco

Aufgabe
Bestimme eine Normalform der Symmetrieebene von

g: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm]

und

h: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm]

Hallo!
Diese Aufgabe ist im Buch als "schwierig" bzw. "zeitaufwendig" gekennzeichnet.
Wir haben die Aufgabe in der Schule besprochen, allerdings verstehe ich jetzt einige Zusammenhänge nicht...


[Dateianhang nicht öffentlich]

[mm] \overrightarrow{M} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 1 & +3 \\ 0 & +4 \\ 1 & -1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm]

Richtungsvektoren von S
[mm] \overrightarrow{u}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm]
[mm] \overrightarrow{v} [/mm] = ?  [mm] \overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v} \perp \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm]
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \overrightarrow{B} [/mm] - [mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -2} [/mm]

I.) [mm] 4v_{1} [/mm] + [mm] 4v_{2} [/mm] - [mm] 2v_{3} [/mm] = 0
II.) [mm] v_{1} [/mm] + [mm] 2v_{2} [/mm] + [mm] 4v_{3} [/mm] = 0



I.) - 2II.)      [mm] -10v_{3} [/mm] = 0
                   [mm] v_{3} [/mm] = 0

z. B. [mm] v_{2} [/mm] = 1 -> [mm] v_{1} [/mm] + 2 = 0
                 [mm] v_{1} [/mm]   = -2

[mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm]

S: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm]

S: [mm] -4x_{1} [/mm] - [mm] 8x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] + 24 = 0


Folgende Verständnisprobleme:
Aus welchem Grunde kann ich nicht den Vektor [mm] \overrightarrow{AM} [/mm] als Normalvektor und den Punkt M als Aufpunktsvektor nutzen?
Dadurch, dass ich den Lösungsansatz nicht verstehe, ist mir die Aufgabe ein komplettes Rätsel...

Gruß
el_grecco

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Normalform Symmetrieebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 So 02.03.2008
Autor: zetamy

Hallo,

> [mm]\overrightarrow{M}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \pmat{ 1 & +3 \\ 0 & +4 \\ 1 & -1}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>  
> Richtungsvektoren von S
> [mm]\overrightarrow{u}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = ?  [mm]\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{AB}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{v} \perp \vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm]

Berechne doch mal den Vektor [mm]\overrightarrow{AM}[/mm]. Du wirst sehen er ist ein vielfaches vom Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm], dh beide sind Richtungsvektoren der Ebene S. AM liegt also in der gesuchten Ebene und kann deshalb nicht senkrecht auf ihr stehen.

>  
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\overrightarrow{B}[/mm] -
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -2}[/mm]
>  
> I.) [mm]4v_{1}[/mm] + [mm]4v_{2}[/mm] - [mm]2v_{3}[/mm] = 0
>  II.) [mm]v_{1}[/mm] + [mm]2v_{2}[/mm] + [mm]4v_{3}[/mm] = 0

Hier ist ein kleiner (Tipp-)Fehler: bei I.) muss [mm]2*v_{1}[/mm] stehen.

>  
>
> I.) - 2II.)      [mm]-10v_{3}[/mm] = 0
>                     [mm]v_{3}[/mm] = 0
>  
> z. B. [mm]v_{2}[/mm] = 1 -> [mm]v_{1}[/mm] + 2 = 0
>                   [mm]v_{1}[/mm]   = -2
>  
> [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> S: [mm]\overrightarrow{X}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]

Prinzipiell kannst du jeden Punkt der Ebene als als Stützvektor bzw Aufpunktsvektor benutzen. Aufgrund der Wahl der Richtungsvektoren hätte man hier allerdings A nehmen sollen.

>  
> S: [mm]-4x_{1}[/mm] - [mm]8x_{2}[/mm] + [mm]5x_{3}[/mm] + 24 = 0

Das ist die Koordinatenform der Ebene, aber nicht die Normalenform. Diese lautet: S: [mm] (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{A})*\overrightarrow{n}=0 [/mm]

>  
>
> Folgende Verständnisprobleme:
>  Aus welchem Grunde kann ich nicht den Vektor
> [mm]\overrightarrow{AM}[/mm] als Normalvektor und den Punkt M als
> Aufpunktsvektor nutzen?
>  Dadurch, dass ich den Lösungsansatz nicht verstehe, ist
> mir die Aufgabe ein komplettes Rätsel...


Gruß, zetamy

Bezug
                
Bezug
Normalform Symmetrieebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:38 So 02.03.2008
Autor: el_grecco

O.K. Vielen Dank :-)
Jetzt ist mir das Ganze klar geworden.

Gruß
el_grecco

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Geraden und Ebenen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de