Normalform aus orthogonalmatri < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 07.07.2009 | | Autor: | payless |
| Aufgabe | Bringen Sie die Matrix
O(3) [mm]\ni[/mm][mm] \begin{pmatrix}
\bruch{5}{\sqrt{30}} & 0 & \bruch{1}{\sqrt{6}} \\
\bruch{1}{\sqrt{30}} & \bruch{-2}{\sqrt{5}} & \bruch{-1}{\sqrt{6}} \\
\bruch{2}{\sqrt{30}} & \bruch{1}{\sqrt{5}} & \bruch{-2}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix}[/mm]
auf Normalform |
Hey Leute das ist die Aufgabenstellung an der ich jetzt schon seid drei Tagen knoble. Ich schaffe es einfach nicht sinnvolle Eigenvektoren zu bestimmen.
O steht für orthogonale Gruppe für die gilt [mm]O(n):={A \in GL (n;\IR): A^{-1}=^tA[/mm]
sprich die inverse der Matrix B ist gleich der transponierten Matrix von B... das hilft hier aber garnicht weiter...
Ich die Normalform in folgende Form aufgestellt werden muss:
[mm]
M_B(F)=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0\\
0 & \begin{vmatrix}
A^'
\end{vmatrix}\\
0
\end{pmatrix}
[/mm]
So, wenn jetzt [mm]det F=det A = +1[/mm] ist dann muß det A'=-1 sein und dann soll man die Eigenvektoren zu den Eigenwerten [mm]\lambda_2 =+1 \lambda_3 =-1[/mm] wählen
Ich habe versucht das charakteristische Polynome zu benutzen da sind bei mir aber keine nullstellen rausgekommen...
Mein Problem ist mit dem Eigenwert von 1 bzw -1 kommt bei mir kein Eigenvektor raus. bzw nichts sinnvolles da kommen kilometerlange Terme raus. Kann mir bitte jemand mit den normierten Eigenvektoren helfen? Ich brauch die um dann daraus eine Matrix auszurechnen um dann endlich mit der Form [mm]P^t * B * P = Normalform von B[/mm]
Ich hoffe das ist dann richtig. wäre über jede hilfe echt übelst dankbar 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:41 Di 07.07.2009 | | Autor: | payless |
Kann mir wirklich keiner weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:44 Mi 08.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bringen Sie die Matrix
>
> O(3) [mm]\ni[/mm][mm] \begin{pmatrix}
\bruch{5}{\sqrt{30}} & 0 & \bruch{1}{\sqrt{6}} \\
\bruch{1}{\sqrt{30}} & \bruch{-2}{\sqrt{5}} & \bruch{-1}{\sqrt{6}} \\
\bruch{2}{\sqrt{30}} & \bruch{1}{\sqrt{5}} & \bruch{-2}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> auf Normalform
>
> Hey Leute das ist die Aufgabenstellung an der ich jetzt
> schon seid drei Tagen knoble. Ich schaffe es einfach nicht
> sinnvolle Eigenvektoren zu bestimmen.
>
> O steht für orthogonale Gruppe für die gilt [mm]O(n):={A \in GL (n;\IR): A^{-1}=^tA[/mm]
>
> sprich die inverse der Matrix B ist gleich der
> transponierten Matrix von B... das hilft hier aber garnicht
> weiter...
Nein, an sich hilft das auch erstmal nichts.
> Ich die Normalform in folgende Form aufgestellt werden
> muss:
>
> [mm]
M_B(F)=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0\\
0 & \begin{vmatrix}
A^'
\end{vmatrix}\\
0
\end{pmatrix}
[/mm]
Wobei $A^'$ wieder orthogonal ist.
> So, wenn jetzt [mm]det F=det A = +1[/mm]
Du meinst [mm] $\det [/mm] F = [mm] \pm [/mm] 1 = [mm] \det [/mm] A^'$. Es muss nicht sein, dass [mm] $\det [/mm] F$ und [mm] $\det [/mm] A^'$ das gleiche Vorzeichen haben. (Etwa wenn [mm] $\lambda_1 [/mm] = -1$ ist.)
> ist dann muß det A'=-1
> sein und dann soll man die Eigenvektoren zu den Eigenwerten
> [mm]\lambda_2 =+1 \lambda_3 =-1[/mm] wählen
Wieso sollte man die Eigenwerte so waehlen koennen? Du weisst nur dass die Eigenwerte Betrag 1 haben, aber nicht dass sie reell sind.
> Ich habe versucht das charakteristische Polynome zu
> benutzen da sind bei mir aber keine nullstellen
> rausgekommen...
Du meinst: keine reellen Nullstellen rauskommen (ausser [mm] $\lambda_1$).
[/mm]
Bestimm erstmal die (komplexen) Eigenwerte. Weisst du wie du aus den Eigenvektoren zu den echt komplexen Eigenwerten die passenden Basisvektoren fuer $A^'$ bekommst? (Das hattet ihr sicher in der Vorlesung irgendwo...)
LG Felix
|
|
|
|
