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| Aufgabe | | Man bestimme den Normalisator [mm] N_S_4((12)(34)) [/mm] |
Hallo,
über eine Korrektur meiner Überlegungen freue ich mich!
Defi.:
Ist H<G Untergruppe, so heißt:
[mm] Nor_G(H)=: {a\inG:aHa^{-1}=H}
[/mm]
der Normalisator von H in G.
Ich habe mir überlegt:
[mm] S_4 [/mm] besitzt 24 Elemente, diese werden erzeugt von den Permutationen:
(1)
(12); (13); (14); (23); (24); (34)
(12)(34); (13)(24); (14)(23)
(123); (132); (124); (142); (134); (143); (234); (243)
(1234); (1243); (1324); (1342); (1423); (1432)
diese erzeugten Elemente sind meine [mm] a\in [/mm] G, G ist die [mm] S_4 [/mm] und meine H ist ((12)(34)).
Hier meine erste Frage, laut Definition ist H<G, also H eine Untergruppe von G...aber ich habe jetzt H eine Permuation ((12)(34)), wie schreibe ich die Permuatuon als Untergruppe?
Um meine Normalisatoren zu bekommen muss ich rechnen:
[mm] Nor_G(H)=: {a\inG:aHa^{-1}=H}, [/mm] also:
[mm] (1)*((12)(34))*(1)^{-1}=((12)(34))
[/mm]
[mm] (12)*((12)(34))*(12)^{-1}=?
[/mm]
...
leider verstehe ich nicht was [mm] (12)^{-1} [/mm] ist, kann mir jemand helfen?
Gruß Jenny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jenny,
> Man bestimme den Normalisator [mm]N_S_4((12)(34))[/mm]
> Hallo,
>
> über eine Korrektur meiner Überlegungen freue ich mich!
>
> Defi.:
> Ist H<G Untergruppe, so heißt:
>
>
> [mm]Nor_G(H)=: {a\inG:aHa^{-1}=H}[/mm]
>
>
> der Normalisator von H in G.
>
ich schreibs mal etwas schöner hin:
Sei $G$ Gruppe und [mm] $H\subseteq [/mm] G$.
[mm] $\text{N}_G(H) [/mm] := [mm] \{a \in G:aHa^{-1}=H\}$ [/mm] heißt der Normalisator von $H$ in $G$.
Weiter setzt man
[mm] $\text{N}_G(h) [/mm] := [mm] \text{N}_G(\{h\})$.
[/mm]
Wenn man sich bei der Definition auf $H [mm] \leq [/mm] G$ beschränkt, muss man zusätzlich für [mm] $M\subseteq [/mm] G$ definieren, dass [mm] $\text{N}_G(M) [/mm] := [mm] \text{N}_G(\left\langle M\right\rangle)$, [/mm] wobei [mm] $\left\langle M\right\rangle$ [/mm] die von $M$ erzeugte Untergruppe von $G$ ist.
> Ich habe mir überlegt:
> [mm]S_4[/mm] besitzt 24 Elemente, diese werden erzeugt von den
> Permutationen:
> (1)
> (12); (13); (14); (23); (24); (34)
> (12)(34); (13)(24); (14)(23)
> (123); (132); (124); (142); (134); (143); (234); (243)
> (1234); (1243); (1324); (1342); (1423); (1432)
[mm] $S_4$ [/mm] wird sogar schon beispielsweise von $E := [mm] \{(12),(23),(34)\}$ [/mm] erzeugt!
>
> diese erzeugten Elemente sind meine [mm]a\in[/mm] G, G ist die [mm]S_4[/mm]
> und meine H ist ((12)(34)).
> Hier meine erste Frage, laut Definition ist H<G, also H
> eine Untergruppe von G...aber ich habe jetzt H eine
> Permuation ((12)(34)), wie schreibe ich die Permuatuon als
> Untergruppe?
siehe oben: benutze [mm] $\left\langle(12)(34)\right\rangle$
[/mm]
>
> Um meine Normalisatoren zu bekommen muss ich rechnen:
> [mm]Nor_G(H)=: {a\inG:aHa^{-1}=H},[/mm] also:
> [mm](1)*((12)(34))*(1)^{-1}=((12)(34))[/mm]
> [mm](12)*((12)(34))*(12)^{-1}=?[/mm]
> ...
> leider verstehe ich nicht was [mm](12)^{-1}[/mm] ist,
> kann mir
> jemand helfen?
[mm] $(12)^{-1} [/mm] = (12)$. [mm] $(12)^{-1}$ [/mm] ist das inverse Element von $(12)$.
Hilfreich ist vielleicht, wenn man sich überlegt, wie eine Konjugation auf eine Zyklendarstellung wirkt!
>
> Gruß Jenny
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Erst mal vielen Dank für die Hilfe, ich denke ich habe es nun soweit verstanden und habe die Aufgabe richtig gelöst hier einige Beispiele:
[mm] (13)*((12)(34))*(13)^{-1}=(1234)*(13)=(14)(23)\notin N_G((12)(34))
[/mm]
[mm] (14)*((12)(34))*(14)^{-1}=(1243)*(14)=(13)(24)\notin N_G((12)(34))
[/mm]
[mm] ((12)(34))*((12)(34))*((12)(34))^{-1}=(1)(2)(3)(4)*((12)(34))=((12)(34)) \in N_G((12)(34)).
[/mm]
[mm] ((1234))*((12)(34))*((1234))^{-1}=(13)*(1432)=(14)(23)\notin N_G((12)(34))
[/mm]
freue mich wenn jemand kurz schauen kann ob die Multiplikation richtig ausgeführt ist!
...ein Problem habe ich nun jedoch immer noch. Ich kann mir nicht vorstellen was ein Normalisator ist, natürlich habe ich mir die Definitionen von Fischer, Hornfeck, Artin und auch Wikipedia durchgelesen - aber ich kann mir davon kein Bild machen!
Gruß Julia:)
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Hallo Julia!
> Erst mal vielen Dank für die Hilfe, ich denke ich habe es
> nun soweit verstanden und habe die Aufgabe richtig gelöst
> hier einige Beispiele:
>
> [mm](13)*((12)(34))*(13)^{-1}=(1234)*(13)=(14)(23)\notin N_G((12)(34))[/mm]
Ich hoffe, dass Du Folgendes meinst:
[mm] $(13)(12)(34)(13)^{-1}=(14)(23) \Rightarrow (13)\notin N_G((12)(34))$
[/mm]
oder
[mm] $(13)(12)(34)(13)^{-1}=(14)(23) \notin \left\langle (12)(34)\right\rangle$
[/mm]
Denn es gilt:
$(14)(23) [mm] \in N_G((12)(34))$!
[/mm]
>
> [mm](14)*((12)(34))*(14)^{-1}=(1243)*(14)=(13)(24)\notin N_G((12)(34))[/mm]
Kritik wie oben!
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>
> [mm]((12)(34))*((12)(34))*((12)(34))^{-1}=(1)(2)(3)(4)*((12)(34))=((12)(34)) \in N_G((12)(34)).[/mm]
Das hättest Du Dir einfacher machen können, da [mm] $ggg^{-1}=g$ [/mm] offensichtlich für alle Gruppenelemente $g$ gilt!
>
> [mm]((1234))*((12)(34))*((1234))^{-1}=(13)*(1432)=(14)(23)\notin N_G((12)(34))[/mm]
Kritik wie oben!
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>
> freue mich wenn jemand kurz schauen kann ob die
> Multiplikation richtig ausgeführt ist!
Die Multiplikation ist richtig ausgeführt!
>
> ...ein Problem habe ich nun jedoch immer noch. Ich kann mir
> nicht vorstellen was ein Normalisator ist, natürlich habe
> ich mir die Definitionen von Fischer, Hornfeck, Artin und
> auch Wikipedia durchgelesen - aber ich kann mir davon kein
> Bild machen!
>
> Gruß Julia:)
Falls $N [mm] \leq [/mm] G$, dann ist der Normalisator [mm] $N_G(N)$ [/mm] die größte Untergruppe von $G$, in der $N$ normal ist.
LG mathfunnel
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