Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mo 26.10.2009 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Sei [mm] (G,\*) [/mm] eine Gruppe und H, H' [mm] \subsetG [/mm] Untergruppen. Zeigen Sie:
Ist H ein Normalteiler, so ist [mm] HH':=\{g\in G|g=h\*h' mit\; h\in H, h'\in H'\} [/mm] eine Untergruppe von G mit Normalteiler H und es gilt HH'=H'H.
Kann man die Bedingung H Normalteiler auch weglassen? |
Als Indiz für Untergruppe würde ich hier versuchen zu zeigen, dass für [mm] a,b\in\; [/mm] HH' gilt: [mm] ab^{-1}\in\; [/mm] HH'.
Wie zeige ich, dass H Normalteiler dieser Gruppe ist?
Ich denke mal, dass man die Bedingung H Normalteiler von G nicht weglassen darf. Ich denke dass ich beim zwieten Teil der Frage sonst Probleme hätte, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm](G,\*)[/mm] eine Gruppe und H, H' [mm]\subsetG[/mm] Untergruppen.
> Zeigen Sie:
> Ist H ein Normalteiler, so ist [mm]HH':=\{g\in G|g=h\*h' mit\; h\in H, h'\in H'\}[/mm]
> eine Untergruppe von G mit Normalteiler H und es gilt
> HH'=H'H.
> Kann man die Bedingung H Normalteiler auch weglassen?
>
> Als Indiz für Untergruppe würde ich hier versuchen zu
> zeigen, dass für [mm]a,b\in\;[/mm] HH' gilt: [mm]ab^{-1}\in\;[/mm] HH'.
Ja. Du kannst $a, b$ schreiben als $a = [mm] a_1 a_2$, [/mm] $b = [mm] b_1 b_2$ [/mm] mit [mm] $a_1, b_1 \in [/mm] H$, [mm] $a_2, b_2 \in [/mm] H'$. Beachte jetzt noch, dass $H'$ ein Normalteiler ist. (Das brauchst du hier zwingend.)
> Wie zeige ich, dass H Normalteiler dieser Gruppe ist?
Na, was musst du denn zeigen dafuer?
> Ich denke mal, dass man die Bedingung H Normalteiler von G
> nicht weglassen darf.
Ja.
> Ich denke dass ich beim zwieten Teil
> der Frage sonst Probleme hätte, oder?
Ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Di 27.10.2009 | | Autor: | side |
ok, ich erhalte dann [mm] (a_1\*\;a_2)\*\;(b_1 \*\;b_2)^{-1} [/mm] = [mm] (a_1\*\;a_2)\*\;(b_2^{-1}\*b_1^{-1})
[/mm]
das würde ich jetzt gerne so umformen, dass ich erhalte:
[mm] (a_1\*\;b_1)\*(a_2\*\;b_2) \;\;\; (\*)
[/mm]
Die Klammern sind dann jeweils in H bzw H' also das ganze in HH' und ich habe gezeigt, dass HH' eine Untergruppe ist. Aber wie komm ich zu [mm] (\*)?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
> ok, ich erhalte dann [mm](a_1\*\;a_2)\*\;(b_1 \*\;b_2)^{-1}[/mm] =
> [mm](a_1\*\;a_2)\*\;(b_2^{-1}\*b_1^{-1})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> das würde ich jetzt gerne so umformen, dass ich
> erhalte:
> [mm](a_1\*\;b_1)\*(a_2\*\;b_2) \;\;\; (\*)[/mm]
Fuer ganz spezielle Gruppen bzw. Wahlen von [mm] $a_1, a_2, b_1, b_2$ [/mm] geht dies. Im Allgemeinen ist dies verschieden von [mm] $(a_1 [/mm] * [mm] a_2) [/mm] * [mm] (b_1 [/mm] * [mm] b_2)^{-1}$.
[/mm]
> Aber wie komm ich zu [mm](\*)?[/mm]
Gar nicht.
Du musst anders vorgehen.
Beachte doch, dass $H$ ein Normalteiler ist; damit ist $g H = H g$ fuer alle $g [mm] \in [/mm] G$. Was passiert mit $g = [mm] a_2 b_2^{-1}$ [/mm] und [mm] $b_1^{-1} \in [/mm] H$?
LG Felix
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