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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Freaky |
| Aufgabe | Seien G eine Gruppe und U c G eine Teilmenge. Untersuchen Sie, ob U ein
Normalteiler von G ist, falls U und G wie folgt gegeben sind:
(a) G = Z, U = {1, -1};
(b) G = Sn, U = {sigma|sigma(1) = 1} für ein n>=2 (Sn= symmetrische Gruppe);
(c) G ist eine beliebige Gruppe und U = f^-1(N) für einen Gruppenhomomorphismus f : G-> H und einen Normalteiler N von H. |
Hallihallo,
ich bräuchte etwas Hilfe bei der obigen Aufgabe.
Bei der (a) vermute ich, dass U Normalteiler ist, aber bei den anderen beiden habe ich keine Ahnung, wie ich das angehen soll. Kann mir vielleicht jemand einen Lösungsansatz geben?
Liebe Grüße, Freaky
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> Seien G eine Gruppe und U c G eine Teilmenge. Untersuchen
> Sie, ob U ein
> Normalteiler von G ist, falls U und G wie folgt gegeben
> sind:
> (a) G = Z, U = {1, -1};
> (b) G = Sn, U = {sigma|sigma(1) = 1} für ein n>=2 (Sn=
> symmetrische Gruppe);
> (c) G ist eine beliebige Gruppe und U = f^-1(N) für einen
> Gruppenhomomorphismus f : G-> H und einen Normalteiler N
> von H.
> Hallihallo,
> ich bräuchte etwas Hilfe bei der obigen Aufgabe.
> Bei der (a) vermute ich, dass U Normalteiler ist, aber bei
Ist [mm] z=$\IZ$ [/mm] ??Eine gute Vermutung.
Un jetzt benutzt du eine Definition.
Für den Normalteiler gibt es drei äquivalente Eigenschaften. DU brauchst nur zeigen: [mm] $\forall g\in G\;\; gUg^{-1}\subseteq [/mm] U$.
> den anderen beiden habe ich keine Ahnung, wie ich das
> angehen soll. Kann mir vielleicht jemand einen
> Lösungsansatz geben?
> Liebe Grüße, Freaky
Das geht genauso. Du musst mit den Definitionen arbeiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Freaky |
Danke für die Hilfe! Bei (a) und (b) habe ich jetzt als Lösung, dass es keine Normalteiler sind, aber bei (c) komme ich irgendwie immer noch nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Fr 17.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die Hilfe! Bei (a) und (b) habe ich jetzt als
> Lösung, dass es keine Normalteiler sind,
Genau. Bei (a) ist es ja nichtmals eine Untergruppe!
> aber bei (c)
> komme ich irgendwie immer noch nicht weiter...
Also bei (c) ist es immer ein Normalteiler. Du musst jetzt mal rechnen. Zeige zuerst, dass [mm] $f^{-1}(N)$ [/mm] eine Untergruppe ist. Das ist einfach, so aehnlich wie man etwa zeigt, dass der Kern von $f$ eine Untergruppe von $G$ ist.
Und ebenso zeigt man, dass [mm] $f^{-1}(N)$ [/mm] ein Normalteiler ist: dazu muss man doch [mm] $g^{-1} f^{-1}(N) [/mm] g [mm] \subseteq f^{-1}(N)$ [/mm] zeigen. Zeige dazu, dass [mm] $g^{-1} f^{-1}(N) [/mm] g = [mm] f^{-1}(f(g)^{-1} [/mm] N g)$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 19.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
warum ist es denn (b) kein Normalteiler? Da U eine triviale Untergruppe von G ist, dachte ich, dass U Normalteiler von G ist.
Bei der (c) habe ich gezeigt, dass U eine Untergruppe von G ist und möchte nun zeigen, dass [mm] g^{-1} f^{-1}(N) [/mm] g [mm] \subseteq f^{-1}(N) [/mm] gilt. Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie ich dabei vorgehen soll.
Kann mir jemand bitte einen Lösungstipp geben?
Vielen Dank und viele Grüße
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 So 19.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Katrin!
> warum ist es denn (b) kein Normalteiler? Da U eine triviale
> Untergruppe von G ist, dachte ich, dass U Normalteiler von
> G ist.
Wieso sollte $U$ eine triviale Untergruppe (also [mm] $\{ id \}$ [/mm] oder $G$ selber) sein?! Das stimmt doch gar nicht, es sei denn $n = 2$.
> Bei der (c) habe ich gezeigt, dass U eine Untergruppe von G
> ist und möchte nun zeigen, dass [mm]g^{-1} f^{-1}(N)[/mm] g
> [mm]\subseteq f^{-1}(N)[/mm] gilt. Allerdings bin ich mir nicht
> sicher, wie ich dabei vorgehen soll.
> Kann mir jemand bitte einen Lösungstipp geben?
Nimm dir ein Element $x [mm] \in g^{-1} f^{-1}(N) [/mm] g$. Dann ist $x = [mm] g^{-1} [/mm] y g$ mit $f(y) [mm] \in [/mm] N$.
Jetzt musst du zeigen, dass $f(x) [mm] \in [/mm] N$ ist. Rechne das doch mal nach.
(Bisher habe ich nur die Definitionen eingesetzt, nichts weiter!)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 19.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Warum id keine Untergruppe von [mm] S_n [/mm] ist, verstehe ich nicht. In der Vorlesung haben wir die Untergruppenkriterien überprüft und aufgeschrieben, dass U eine Untergruppe von [mm] S_n [/mm] (für ein [mm] \IN_{>0}) [/mm] ist.
Bei der (c) habe ich jetzt gerechnet:
[mm] f(g^{-1}yg)=f(g^{-1}) [/mm] f(y) f(g) [mm] \in f(g^{-1}) [/mm] N f(g)
Darf man nun die Faktoren vertauschen, sodass man folgendes erhält?
[mm] f(g^{-1}yg)\in f(g^{-1}) [/mm] f(g) N
-> [mm] f(g^{-1}yg)\in f(g^{-1}g) [/mm] N
-> [mm] f(g^{-1}yg)\in [/mm] N
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Mo 20.12.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Warum id keine Untergruppe von [mm]S_n[/mm] ist, verstehe ich nicht.
> In der Vorlesung haben wir die Untergruppenkriterien
> überprüft und aufgeschrieben, dass U eine Untergruppe von
> [mm]S_n[/mm] (für ein [mm]\IN_{>0})[/mm] ist.
Die Identität, genauer die Menge mit der Identität als einzigem Element, ist natürlich eine Untergruppe und auch ein NT. Aber hier steht in schlechtem Mathe-Speak
(b) G = Sn, U = {sigma|sigma(1) = 1} für ein n>=2 (Sn= symmetrische Gruppe);
Das soll wohl heißen: Sei n [mm] \ge [/mm] 2 und [mm] S_n [/mm] die symmetrische Gruppe auf den Zahlen von 1 bis n. U ist dann die Teilmenge derjenigen Permutationen, die 1 festlassen.
Nun ist das im Falle n = 2 auch noch ein NT, weil eine 2er-Permutation, die 1 festhält, automatisch auch 2 festhält, also = id ist.
Aber für n = 3 solltest du ein Gegenbeispiel finden können, was dann automatisch auch die Fälle n > 3 erledigt (Warum?).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Di 21.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank. Ich habe es verstanden.
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