Normalteiler & Hom.satz < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G Gruppe, G' [mm] \subseteq [/mm] G die von [mm] ghg^{-1}h^{-1} [/mm] (g,h [mm] \in [/mm] G) erzeugte Untergruppe.
Z.z.:
i) Die Untergruppe G' ist ein Normalteiler und die Faktorgruppe [mm] G^{ab}:= [/mm] G/G' ist abelsch. Sei [mm] \pi: [/mm] G [mm] \to G^{ab} [/mm] der kanon. Homomorphismus.
ii) Sei [mm] \alpha: [/mm] G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, wobei H eine abelsche Gruppe ist. Dann ex. genau ein Gruppenhom. [mm] \alpha^{ab}:G^{ab} \to [/mm] H, sodass [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha^{ab}*\pi [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Aufgabe gelöst, bin mir aber unsicher, ob sie so richtig ist. Deshalb wäre es nett, wenn sie sich jemand anschauen könnte zwecks Richtigkeit und Korrektur. 
Zu i):
G' ist Untergruppe von G mit [mm] G'=, [/mm] also G' wird von [mm] ghg^{-1}h^{-1} [/mm] erzeugt, ist also zyklisch, und damit auch abelsch.
Zu zeigen ist, dass G' Normalteiler ist, dh. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G' [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] G muss gelten: [mm] yxy^{-1} \in [/mm] G'
Das habe ich verwendet:
n [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] G'= [/mm] gilt, also:
[mm] y*(ghg^{-1}h^{-1})^{n}*y^{-1}= yg^{n}h^{n}(g^{-1})^{n}(h^{-1})^{n}y^{-1}= yg^{n}(g^{-1})^{n}h^{n}(h^{-1})^{n}y^{-1}=yy^{-1}= e_{G} [/mm]
Hier in der Rechnung habe ich benutzt, dass G' von [mm] ghg^{-1}h^{-1} [/mm] erzeugt wird, also jedes Element aus G' lasst sich darstellen als [mm] (ghg^{-1}h^{-1})^{n} [/mm] mit n [mm] \in \IZ. [/mm] Stimmt das? Dann habe ich noch die kommutativiät einer zyklischen Gruppe ausgenutzt. ISt doch richtig bis hierher??
Das Ergebnis der Rechnung ist nun [mm] e_{G}. [/mm] Dieses müsste jetzt [mm] \in [/mm] G' liegen, damit G' Normalteiler ist (was ja zu zeigen ist!). Aber meine Frage ist nun, liegt [mm] e_{G} [/mm] in G'? Weil dann wäre ich ja fertig. Ich argumentiere damit, dass G' Untergruppe von G ist, also muss doch gelten: [mm] e_{G'} [/mm] = [mm] e_{g} [/mm] wegen Eindeutigkeit des neutralen Elementes. Weil dann kann ich sagen, dass [mm] e_{G} [/mm] in G' ist. Also ist G' Normalteiler.
Dann ist zu folgern, dass [mm] G^{ab}:= [/mm] G/G' ist abelsch ist:
G/G' = gG' = [g] für ein g [mm] \in [/mm] G, also die Nebenklasse.
z.z. ist doch gG'=G'g
Also: links: statt G' schreibe ich: [mm] g(ghg^{-1}h^{-1})^{n}= gg^{n}h^{n}(g^{-1})^{n}(h^{-1})^{n}= [/mm] g (Kommutativiät benutzt)
rechts: [mm] (g^{-1})^{n}(h^{-1})^{n}g= g^{n}h^{n}(g^{-1})^{n}(h^{-1})^{n}g=g
[/mm]
Also stimmen beide Seiten überein. Es folgt: G/G' ist abelsch. Stimmt das so?
Zu ii):
Hier muss man doch den Homomorphiesatz anwenden. [mm] \alpha: [/mm] G [mm] \to [/mm] H ist ein Gruppenhom., wobei H abelsch ist.
Z.z. ist, dass es genau ein Gruppenhom. [mm] \alpha^{ab}: G^{ab} \to [/mm] H gibt, sodass [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha^{ab}*\pi.
[/mm]
[mm] \pi [/mm] ist der kanon. Homomorphismus.
Da G' ein Normalteiler ist (bereits in i)) gezeigt, kann ich doch sofort den Homomorphiesatz anwenden: Ich habe einen Homomorphismus [mm] \alpha: [/mm] G [mm] \to [/mm] H. Und G' ist Normalteiler von G. Dann giblt es einen eindeutigen Hom. [mm] \alpha^{ab}:G^{ab} \to [/mm] H mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha^{ab}*\pi. [/mm] Fertig. Ich habe mir so ein Dreicksbild aufgemalt dazu.
Der Hom.satz isr erfüllt, die Beh. folgt aus diesem Satz. Kann man das so zeigen, oder fehlt da was?
Vielen Dank für die Hilfe.
Milka
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i > Sei G Gruppe, G' [mm]\subseteq[/mm] G die von [mm]ghg^{-1}h^{-1}[/mm] (g,h
> [mm]\in[/mm] G) erzeugte Untergruppe.
> Z.z.:
> i) Die Untergruppe G' ist ein Normalteiler und die
> Faktorgruppe [mm]G^{ab}:=[/mm] G/G' ist abelsch. Sei [mm]\pi:[/mm] G [mm]\to G^{ab}[/mm]
> der kanon. Homomorphismus.
> ii) Sei [mm]\alpha:[/mm] G [mm]\to[/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, wobei H
> eine abelsche Gruppe ist. Dann ex. genau ein Gruppenhom.
> [mm]\alpha^{ab}:G^{ab} \to[/mm] H, sodass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{ab}*\pi[/mm]
Hallo Milka,
warum ist $G'$ zyklisch? Nimm z.B. an, daß $G$ Abelsch ist. Dann ist $G'=G$, aber $G$ selbst muß nicht notwendigerweise zyklisch sein.
Nein, $G'$ besteht aus *allen* Elementen der Form [mm] $ghg^{-1}h^{-1}$, [/mm] >
Um zu zeigen, daß $G/G'$ Abelsch ist, mußt Du für [mm] $g,h\in [/mm] G$ $ghG'=G'hg$ zeigen.
> Z.z. ist, dass es genau ein Gruppenhom. [mm]\alpha^{ab}: G^{ab} \to[/mm]
> H gibt, sodass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{ab}*\pi.[/mm]
> [mm]\pi[/mm] ist der kanon. Homomorphismus.
> Da G' ein Normalteiler ist (bereits in i)) gezeigt, kann
> ich doch sofort den Homomorphiesatz anwenden: Ich habe
> einen Homomorphismus [mm]\alpha:[/mm] G [mm]\to[/mm] H. Und G' ist
> Normalteiler von G. Dann giblt es einen eindeutigen Hom.
> [mm]\alpha^{ab}:G^{ab} \to[/mm] H mit [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{ab}*\pi.[/mm]
> Fertig. Ich habe mir so ein Dreicksbild aufgemalt dazu.
Vorsicht: Beachte die Voraussetzungen des Homomorphiesatzes!
Mfg
zahlenspieler
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Hallo zahlenspieler,
> i > Sei G Gruppe, G' [mm]\subseteq[/mm] G die von [mm]ghg^{-1}h^{-1}[/mm]
> (g,h
> > [mm]\in[/mm] G) erzeugte Untergruppe.
> > Z.z.:
>
> > i) Die Untergruppe G' ist ein Normalteiler und die
> > Faktorgruppe [mm]G^{ab}:=[/mm] G/G' ist abelsch. Sei [mm]\pi:[/mm] G [mm]\to G^{ab}[/mm]
> > der kanon. Homomorphismus.
> > ii) Sei [mm]\alpha:[/mm] G [mm]\to[/mm] H ein Gruppenhomomorphismus,
> wobei H
> > eine abelsche Gruppe ist. Dann ex. genau ein Gruppenhom.
> > [mm]\alpha^{ab}:G^{ab} \to[/mm] H, sodass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{ab}*\pi[/mm]
> Hallo Milka,
> warum ist [mm]G'[/mm] zyklisch? Nimm z.B. an, daß [mm]G[/mm] Abelsch ist.
> Dann ist [mm]G'=G[/mm], aber [mm]G[/mm] selbst muß nicht notwendigerweise
> zyklisch sein.
> Nein, [mm]G'[/mm] besteht aus *allen* Elementen der Form
> [mm]ghg^{-1}h^{-1}[/mm] >
> Um zu zeigen, daß [mm]G/G'[/mm] Abelsch ist, mußt Du für [mm]g,h\in G[/mm]
> [mm]ghG'=G'hg[/mm] zeigen.
danke für deine Antwort, aber ich verstehe nicht was du mir da sagen willst, zumal gar nicht erkennba ist, worauf sich deine "Andeutungen" beziehen.
zur i): G' ist doch zyklisch, weil G' von [mm] ghg^{-1}h^{-1} [/mm] wird. Was ist daran falsch? Und aus dem Vorlesungskript weiß ich, dass jede zyklische Gruppe abelsch ist.
Kannst du mir da bitte nochmal "besser" erklären, was daran nicht stimmen sollte?
Zu ii)
> > Z.z. ist, dass es genau ein Gruppenhom. [mm]\alpha^{ab}: G^{ab} \to[/mm]
> > H gibt, sodass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{ab}*\pi.[/mm]
> > [mm]\pi[/mm] ist der kanon. Homomorphismus.
> > Da G' ein Normalteiler ist (bereits in i)) gezeigt,
> kann
> > ich doch sofort den Homomorphiesatz anwenden: Ich habe
> > einen Homomorphismus [mm]\alpha:[/mm] G [mm]\to[/mm] H. Und G' ist
> > Normalteiler von G. Dann giblt es einen eindeutigen Hom.
> > [mm]\alpha^{ab}:G^{ab} \to[/mm] H mit [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{ab}*\pi.[/mm]
> > Fertig. Ich habe mir so ein Dreicksbild aufgemalt dazu.
> Vorsicht: Beachte die Voraussetzungen des
> Homomorphiesatzes!
In der Vorlesung hatten wir ein Korollar, welches das folgende besagt:
Sei [mm] \alpha: [/mm] G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus. Sei G' [mm] \subseteq [/mm] G ein Normalteiler von G. Wir nehmen an, dass [mm] \forall [/mm] g' [mm] \in [/mm] G': [mm] \alpha(g')= e_{H} [/mm] ist. Dann gibt es einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus [mm] \alpha^{ab}: G^{ab} \to [/mm] H mit [mm] \alpha^{ab} \circ \pi [/mm] = [mm] \alpha.
[/mm]
Das hab ich hier doch genau. Ich habe einen Gruppenhom. [mm] \alpha: [/mm] G [mm] \to [/mm] H, und G' ist Normalteiler von G. Ich nehme auch hier an, dass [mm] \alpha(ghg^{-1}h^{-1} )=e_{H} [/mm] ist.Dann gibt es ja einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus: [mm] \alpha^{ab}: G^{ab} \to [/mm] H, was ja genau gesucht war. Was war jetzt da deine Kritik?
Vielen Dank für die Hilfe.
Milka
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> Hallo zahlenspieler,
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> > i > Sei G Gruppe, G' [mm]\subseteq[/mm] G die von [mm]ghg^{-1}h^{-1}[/mm]
> > (g,h
> > > [mm]\in[/mm] G) erzeugte Untergruppe.
> > > Z.z.:
> >
> > > i) Die Untergruppe G' ist ein Normalteiler und die
> > > Faktorgruppe [mm]G^{ab}:=[/mm] G/G' ist abelsch. Sei [mm]\pi:[/mm] G [mm]\to G^{ab}[/mm]
> > > der kanon. Homomorphismus.
> > > ii) Sei [mm]\alpha:[/mm] G [mm]\to[/mm] H ein Gruppenhomomorphismus,
> > wobei H
> > > eine abelsche Gruppe ist. Dann ex. genau ein Gruppenhom.
> > > [mm]\alpha^{ab}:G^{ab} \to[/mm] H, sodass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{ab}*\pi[/mm]
>
> > Hallo Milka,
> > warum ist [mm]G'[/mm] zyklisch? Nimm z.B. an, daß [mm]G[/mm] Abelsch ist.
> > Dann ist [mm]G'=G[/mm], aber [mm]G[/mm] selbst muß nicht notwendigerweise
> > zyklisch sein.
> > Nein, [mm]G'[/mm] besteht aus *allen* Elementen der Form
> > [mm]ghg^{-1}h^{-1}[/mm] >
> > Um zu zeigen, daß [mm]G/G'[/mm] Abelsch ist, mußt Du für [mm]g,h\in G[/mm]
> > [mm]ghG'=G'hg[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zeigen.
>
>
> danke für deine Antwort, aber ich verstehe nicht was du mir
> da sagen willst, zumal gar nicht erkennba ist, worauf sich
> deine "Andeutungen" beziehen.
Sorry, das war nicht gut erklärt. Nimm als Beispiel $G=S_{4}$. $A_{4}$ ist Normalteiler in $G$, $G/A_4$ ist Abelsch. Aber ist $A_{4}$ zyklisch? Nein!
So auf die Schnelle find' ich gerad kein Argument, um zu zeigen, daß $A_4$ gerade die "Kommutatoruntergruppe" von $S_{4}$ ist (Erläuterung: Für 2 Elemente $g,h$ heißt $[g,h]\colon=ghg^-1}h^-1}$ der Kommutator von $g$ und $h$.)
> Zu ii)
> > > Z.z. ist, dass es genau ein Gruppenhom. [mm]\alpha^{ab}: G^{ab} \to[/mm]
> > > H gibt, sodass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{ab}*\pi.[/mm]
> > > [mm]\pi[/mm] ist der kanon. Homomorphismus.
> > > Da G' ein Normalteiler ist (bereits in i)) gezeigt,
> > kann
> > > ich doch sofort den Homomorphiesatz anwenden: Ich habe
> > > einen Homomorphismus [mm]\alpha:[/mm] G [mm]\to[/mm] H. Und G' ist
> > > Normalteiler von G. Dann giblt es einen eindeutigen Hom.
> > > [mm]\alpha^{ab}:G^{ab} \to[/mm] H mit [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{ab}*\pi.[/mm]
> > > Fertig. Ich habe mir so ein Dreicksbild aufgemalt dazu.
> > Vorsicht: Beachte die Voraussetzungen des
> > Homomorphiesatzes!
> In der Vorlesung hatten wir ein Korollar, welches das
> folgende besagt:
> Sei [mm]\alpha:[/mm] G [mm]\to[/mm] H ein Gruppenhomomorphismus. Sei G'
> [mm]\subseteq[/mm] G ein Normalteiler von G. Wir nehmen an, dass
> [mm]\forall[/mm] g' [mm]\in[/mm] G': [mm]\alpha(g')= e_{H}[/mm] ist. Dann gibt es
> einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus [mm]\alpha^{ab}: G^{ab} \to[/mm]
> H mit [mm]\alpha^{ab} \circ \pi[/mm] = [mm]\alpha.[/mm]
> Das hab ich hier doch genau. Ich habe einen Gruppenhom.
> [mm]\alpha:[/mm] G [mm]\to[/mm] H, und G' ist Normalteiler von G. Ich nehme
> auch hier an, dass [mm]\alpha(ghg^{-1}h^{-1} )=e_{H}[/mm] ist.Dann
> gibt es ja einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus:
> [mm]\alpha^{ab}: G^{ab} \to[/mm] H, was ja genau gesucht war. Was
> war jetzt da deine Kritik?
>
Hm, und wie *begründest* Du Deine Annahme?
Sollte keine "Kritik" sein, nur ein Hinweis:
Seien $G,H$ Gruppen, [mm] $\phi\colon [/mm] G [mm] \to [/mm] H$ ein Gruppenhomomorphismus und $N$ ein Normalteiler in $G$ mit $N [mm] \subseteq \operatorname{ker}(\phi)$. [/mm] Dann ist [mm] $f\colon: [/mm] G/N [mm] \to [/mm] H, aN [mm] \to \phi(a)$ [/mm] wohldefiniert (warum?). (D.H. es muß ja sichergestellt sein, daß nicht ein und dieselbe Nebenklasse auf zwei verschiedene Elemente in $H$ abgebildet werden.)
Auf diese Zusatzvoraussetzung wollte ich hinweisen.
D.h. für die Aufgabe: Du mußt zeigen, daß $G'$ der kleinste Normalteiler in $G$ mit Abelscher Faktorgruppe ist; damit ist dann $G' [mm] \subseteq \operatorname{ker}(\alpha)$garantiert.
[/mm]
Mfg
zahlenspieler
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Hallo!
Aber wie finde ich jetzt ein konkretes Element in G', damit ich zeigen kann, dass G' Normalteiler ist.
Ich will ja zeigen, dass g*<$ [mm] ghg^{-1}h^{-1} [/mm] $ >=<$ [mm] ghg^{-1}h^{-1} [/mm] $ >*g für alle g [mm] \in [/mm] G ist. Wie finde ich jetzt ein Element in <$ [mm] ghg^{-1}h^{-1} [/mm] $ >? Ist [mm] (ghg^{-1}h^{-1})^{n} [/mm] richtig?
Weil sonst weiß ich nicht, was ich anstatt G' im Beweis der Kommutativität einsetzen soll: $ ghG'=G'hg $
Vielen Dank!
Milka
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Hallo Milka,
> Hallo!
> Aber wie finde ich jetzt ein konkretes Element in G',
> damit ich zeigen kann, dass G' Normalteiler ist.
> Ich will ja zeigen, dass g*<[mm] ghg^{-1}h^{-1}[/mm] >=<[mm] ghg^{-1}h^{-1}[/mm]
> >*g für alle g [mm]\in[/mm] G ist. Wie finde ich jetzt ein Element
> in <[mm] ghg^{-1}h^{-1}[/mm] >? Ist [mm](ghg^{-1}h^{-1})^{n}[/mm] richtig?
> Weil sonst weiß ich nicht, was ich anstatt G' im Beweis
> der Kommutativität einsetzen soll: [mm]ghG'=G'hg[/mm]
Definiere zu [mm] $x\in [/mm] G$ [mm] $\alpha_x\colon [/mm] G [mm] \to [/mm] G, [mm] g\mapsto xgx^{-1}$. [/mm] Die Untergruppe $U$ von $G$ ist genau dann Normalteiler in $G$, wenn stets [mm] $\alpha_x(U)=U$ [/mm] gilt; d.h. wenn mit [mm] $u\in [/mm] U$ auch [mm] $\alpha_x(u)\in [/mm] U$ liegt. Nun ist ein Element $a [mm] \in [/mm] 'G'$ von der Form [mm] $ghg^{-1}h^{-1}$; [/mm] wie sieht dann [mm] $\alpha_x(a)$ [/mm] aus ?
Zur Kommutativität von $G/G'$: $abG'=baG' [mm] \gdw (ba)^{-1}abG'=G' \ldots$.
[/mm]
Mfg
zahlenspieler
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Hallo zahlenspieler,
erstmal danke für deine recht schnelle Antwort. Jetzt ist mir auch einiges klarer geworden
Aber ich hab dennoch Probleme beim Zeigen der Kommutativität von G/G'.
> Zur Kommutativität von [mm]G/G'[/mm]: [mm]abG'=baG' \gdw (ba)^{-1}abG'=G' \ldots[/mm].
Du hast mir das obige angegeben. In einer deiner ersten Postings steht drin, dass man ghG'=G'hg zeigen muss. Jetzt bin ich ein bisschen verwirrt, aber ich denke, die Variante abG' = baG' macht mehr Sinn... Oder?
Jetzt ist aber genau meine Frage, was das Ziel deines Äquivalentbeweises ist: abG'=baG' [mm] \gdw (ba)^{-1}abG'=G' \ldots[/mm].
[/mm]
Ich versteh das so, bin mir aber unsicher, ob ich das richtig verstanden habe:
Zu zeigen: abG'= baG'
abG'=G'ab, da G' Normalteiler ist (bereits gezeigt)
[mm] \gdw abG'(ab)^{-1}=G' \gdw G'(ab)^{-1}=(ab)^{-1}G \gdw [/mm]
G' [mm] b^{-1}a^{-1}= b^{-1}a^{-1}G'
[/mm]
Jetzt komm ich irgendwie nicht auf die gesuchte Form...Muss ich jetzt die ganze Gleichung invertieren? Gilt dann G'^{-1}=G'?? Kannst du mir da weiterhelfen?
Vielen Dank!
Milka
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Hallo Milka,
> Hallo zahlenspieler,
> erstmal danke für deine recht schnelle Antwort. Jetzt ist
> mir auch einiges klarer geworden
> Aber ich hab dennoch Probleme beim Zeigen der
> Kommutativität von G/G'.
>
> > Zur Kommutativität von [mm]G/G'[/mm]: [mm]abG'=baG' \gdw (ba)^{-1}abG'=G' \ldots[/mm].
>
> Du hast mir das obige angegeben. In einer deiner ersten
> Postings steht drin, dass man ghG'=G'hg zeigen muss. Jetzt
> bin ich ein bisschen verwirrt, aber ich denke, die Variante
> abG' = baG' macht mehr Sinn... Oder?
Oha, vergiß das mal .
> Jetzt ist aber genau meine Frage, was das Ziel deines
> Äquivalentbeweises ist: abG'=baG' [mm]\gdw (ba)^{-1}abG'=G' \ldots[/mm].[/mm]
>
> Ich versteh das so, bin mir aber unsicher, ob ich das
> richtig verstanden habe:
>
> Zu zeigen: abG'= baG'
> abG'=G'ab, da G' Normalteiler ist (bereits gezeigt)
> [mm]\gdw abG'(ab)^{-1}=G' \gdw G'(ab)^{-1}=(ab)^{-1}G \gdw[/mm]
> G' [mm]b^{-1}a^{-1}= b^{-1}a^{-1}G'[/mm]
> Jetzt komm ich irgendwie
> nicht auf die gesuchte Form...Muss ich jetzt die ganze
> Gleichung invertieren? Gilt dann G'^{-1}=G'?? Kannst du mir
> da weiterhelfen?
Nee, mit invertieren kommt man da auch nicht weiter. Das ist so eine Angewohnheit von mir: Wenn ich noch nicht recht weiß, wie ichs beweisen soll, fang ich "von hinten" (also bei der Behauptung) an und versuch so lang wie möglich äquivalent umzuformen. Also mal von vorn:
Für bel. $a,b [mm] \in [/mm] G$ ist [mm] $(ba)^{-1}ab=a^{-1}b^{-1}ab \in [/mm] G' [mm] \gdw (ba)^{-1}abG'=G' \gdw [/mm] abG'=aG'bG'=bG'aG'=baG'$.
[Das war die "Kurzfassung" ]
Mfg
zahlenspieler
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Hallo zahlenspieler,
ich hab ein paar Fragen zu deiner Lösung:
> Für bel. [mm]a,b \in G[/mm] ist [mm](ba)^{-1}ab=a^{-1}b^{-1}ab \in G' \gdw (ba)^{-1}abG'=G' \gdw abG'=aG'bG'=bG'aG'=baG'[/mm].
Ich hab nicht so richtig verstanden, warum ab G' = a G' b G' ist.
Kann man da einfach das G' ergänzen?
Und dann hab ich noch ein Frage bzgl. aG'bG'=bG'aG'. Wieso darf ich das hier einfach vertauschen?
Danke für deine Hilfe!!
Milka
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Hallo Milka,
> Hallo zahlenspieler,
> ich hab ein paar Fragen zu deiner Lösung:
> > Für bel. [mm]a,b \in G[/mm] ist [mm](ba)^{-1}ab=a^{-1}b^{-1}ab \in G' \gdw (ba)^{-1}abG'=G' \gdw abG'=aG'bG'=bG'aG'=baG'[/mm].
>
> Ich hab nicht so richtig verstanden, warum ab G' = a G' b
> G' ist.
Ja, das war etwas schludrig geschrieben: gemeint war das Produkt [mm] $X\odot [/mm] Y:={xy [mm] \mid [/mm] x [mm] \in [/mm] X, [mm] y\in [/mm] Y}$ für (Links)nebenklassen nach dem Normalteiler $G'$.
> Und dann hab ich noch ein Frage bzgl. aG'bG'=bG'aG'. Wieso
> darf ich das hier einfach vertauschen?
Also nochmal etwas ausführlicher:
Für bel. $a,b [mm] \in [/mm] G$ ist
[mm]\begin{array}llll}
&(ba)^{-1}ab=a^{-1}b^{-1}ab \in G'& & \text{$G'$ wird von diesen Elementen erzeugt} \\
\gdw& (ba)^{-1}abG'&=G' & \text{wegen Abgeschlossenheit der Gruppe} \ \
\gdw & abG'&=baG' & \text{Multiplikation von links mit $ba$} \\
\gdw & aG \odot bG&=abG & \text{nach Def. der Verknüpfung} \\
=&baG&=bG \odot aG
\end{array}[/mm]
>
> Danke für deine Hilfe!!
Gerne wieder! .
>
> Milka
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Bei Verknüpfungen von Mengen darf ich die Assoziativität der Verknüpfung einzelner Elemente verwenden. Ausführlicher macht man sich erst einmal klar, was
- (aG')(bG')
- a(G'b)G'
- ...(etc.)...
überhaupt für Mengen sind, und daß G'G' = G' gilt. Das sollte aber nun wirklich klar sein, oder?
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Sorry, aber ich sehe jetzt nicht wirklich, was die Tatsache, daß
- die Kommutator-Untergruppe G' der kleinste Normalteiler einer beliebigen Gruppe G ist so, daß G/G' abelsch ist,
damit zu tun haben soll, daß
- G' [mm] \subseteq ker\phi [/mm] für einen beliebigen Homomorphismus [mm] \phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H gilt.
Für letzteres braucht man die Voraussetzung, daß H abelsch ist, da dann
[mm] \phi(ghg^{-1}h^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(g)\phi(h)\phi(g)^{-1}\phi(h)^{-1} [/mm] = [mm] \phi(g)\phi(h)\phi(h)^{-1}\phi(g)^{-1} [/mm] = [mm] 1_{H} [/mm]
gilt.
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Hallo Alex,
> Sorry, aber ich sehe jetzt nicht wirklich, was die
> Tatsache, daß
>
> - die Kommutator-Untergruppe G' der kleinste Normalteiler
> einer beliebigen Gruppe G ist so, daß G/G' abelsch ist,
>
> damit zu tun haben soll, daß
>
> - G' [mm]\subseteq ker\phi[/mm] für einen beliebigen Homomorphismus
> [mm]\phi[/mm] : G [mm]\to[/mm] H gilt.
Du beziehst Dich wahrscheinlich auf diesen Artikel, eine Antwort auf Teil (II) der Aufgabenstellung. In dem Hinweis dort ging es aber konkret um einen Homomorphismus in eine *Abelsche Gruppe*, von einem *beliebigen* Homomorphismus war da nicht die Rede .
Und um den betr. Homomorphiesatz, aus dem die Existenz der ges. Abbildung folgt, hier anwenden zu können, muß die Voraussetzung erfüllt sein, daß $G' [mm] \subseteq \operator{ker}(\alpha)$ [/mm] gilt. Als ich das schrieb, war die Idee: Wenn ich zeige: Ist $N$ Normalteiler in $G$ mit Abelscher Faktorgruppe, dann umfaßt $N$ $G'$; das gilt insbes. für den Kern von [mm] $\alpha$.
[/mm]
Getz klar?
mfg
zahlenspieler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 29.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Liebe Milka,
dieses Mal sind die Formeln nicht so schwer, also poste ich hier. 
Tut mir leid, aber Du hast die Angabe nicht vollständig übertragen. Es heißt
"Sei G eine Gruppe und [mm] G'\subseteq [/mm] G die von allen Kommutatoren [mm] ghg^{-1}h^{-1} [/mm] (g,h [mm] \in [/mm] G) erzeugte Untergruppe ...",
das bedeutet
G' = < [mm] \{ ghg^{-1}h^{-1} | g,h \in G \} [/mm] > !! ,
g und h durchlaufen also alle Elemente von G! Das ist etwas ganz anderes, als die (trivialerweise!) zyklische Gruppe, die nur von einem Kommutator für ein konkretes Paar g und h aus G erzeugt wird!
G' muß sebstverständlich nicht zyklisch sein!
So, nun zur Lösung:
Für einen Kommutator schreibt man kurz auch
[g,h] = [mm] ghg^{-1}h^{-1} [/mm] .
Zu zeigen ist nun, daß für beliebige x, g, h aus G gilt
[mm] x*[g,h]*x^{-1} \in [/mm] G' .
Naja, füge einfach überall [mm] x^{-1}*x [/mm] ein:
[mm] x*[g,h]*x^{-1} [/mm] = [mm] xghg^{-1}h^{-1}x^{-1} [/mm] = [mm] xgx^{-1}xhx^{-1}xg^{-1}x^{-1}xh^{-1}x^{-1} [/mm] = [mm] [xgx^{-1},xhx^{-1}], [/mm] da [mm] (xgx^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] (x^{-1})^{-1}(xg)^{-1} [/mm] = [mm] xg^{-1}x^{-1} [/mm] .
Jetzt müßtest Du es eigentlich schon sehen, denn die [mm] x...x^{-1} [/mm] sind wieder Elemente von G, also sind die Kommutatoren [mm] [xgx^{-1},xhx^{-1}] [/mm] wieder in G' - das Ganze kann man jetzt ausdehnen auf alle Elemente von G', die ja nicht nur Kommutatoren, sondern auch Potenzen und Produkte von voneinander verschiedenen Kommutatoren sind, und das sind nicht notwendigerweise wieder Kommutatoren!
Erst die Faktorgruppe G/G' = [mm] G^{ab}, [/mm] die so genannte "Abelianisierung von G" (daher das "ab" rechts oben an G !), ist abelsch.
Da G' ein Normalteiler von G ist, ist das Produkt von Nebenklassen in G/G' sinnvoll definiert, und, indem man die Verknüpfung von G nimmt und damit das Produkt zweier Mengen als die Menge aller Produkte von Elementen aus den beiden Mengen (ich hoffe, das ist klar, was das bedeutet) definiert, so erhält man für g, h [mm] \in [/mm] G nun
(gG')(hG') = g(G'h)G' = g(hG')G' = (gh)G'G' = ghG'
und
[mm] ghg^{-1}h^{-1}G' [/mm] = [mm] G'ghg^{-1}h^{-1} [/mm] = G',
also
ghG' = G'hg = hgG',
d.h. G/G' ist abelsch.
Der zweite Teil folgt mit dem Homomorphiesatz, wenn der schon dran war.
Der Teil (ii) von Aufgabe 4 (das mit der [mm] S_{n}) [/mm] ist übrigens damit auch nicht mehr schwer - man muß sich nur klar machen, was [mm] S_{n}^{ab} [/mm] ist ...
So, ich hoffe, ich konnte Dir damit weiterhelfen - das sollte eigentlich bis auf Ausformulieren die vollständige Lösung der Aufgabe 3 sein.
Für die 4 (ii) zeigt man einfach kurz, daß die Kommutator-Untegruppe der [mm] S_{n} [/mm] gerade der Kern von sign : [mm] S_{n} \to \{\pm1\} [/mm] ist, und dann kann man eine Folgerung aus dem Homomorphiesatz anwenden, nämlich, daß für einen surjektiven Homomorphismus (hier sign) von Gruppen
[mm] \phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H
gilt
H [mm] \cong G/ker\phi [/mm] .
Weiterhin viel Spaß mit Algebra, und vielleicht sehen wir uns ja mal in der Vorlesung.
Liebe Grüße,
Alex
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Hallo Alex,
ist natürlich Deine Sache, fix und fertige Lösungen zu posten; nur sind doch diese Foren erstmal als Plattform für "Hilfe zur Selbsthilfe" gedacht, oder? Zumal Du nicht der OP warst...
Wie gesagt, find' ich nicht ganz so toll.
Alles gute
zahlenspieler
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Ich nehme mal an, daß Du mit "OP" "OriginalPoster" meinst - dann verstehe ich aber nicht, was das soll.
Mir war's einfach zu blöd, tausend extra Kommentare zu schreiben - und ausserdem muß sie ja die Lösung erst einmal nachvollziehen.
Zudem war meine Lösung noch garnicht vollständig - erst durch eine weitere Mitteilung wurde sie das.
Ich sollte wohl lernen, mich zu beherrschen. Es ist nur so, daß sich in mir alles sträubt, wenn ich so manche Sachen hier lese - insbesondere so manche Tips.
Bevor ich mich da groß mit jemandem streite, erspare ich uns allen doch lieber die Zeit, Kraft und Nerven, und beende das Ganze einfach mit einer Lösung.
Sei mir bitte nicht böse, aber bei so manchen Tips scheint Dir einfach der Blick dafür zu fehlen, was der/die andere gerade nicht verstanden hat. Zum Beispiel hat Milka_Kuh bei der einen Frage, warum G/G' abelsch ist, also, wie man abG' = baG' zeigt, offenbar nicht verstanden, wie man mit Verknüpfungen von Mengen umgeht, und, daß (und warum) man dabei das Assoziativgesetz verwenden kann.
Naja, wie auch immer, weiterhin viel Spaß hier auf dem Forum!
Gruß, Alex
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