Normalteiler ermitteln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | | 1)Bestimmen Sie alle Normalteiler und zugörigen Faktorgruppen der Symmetriegruppe des regelmäßigen Vierecks. (siehe Blatt 1 Augfgabe 4) |
| Aufgabe 2 | 4) Blatt 1) Unter der Symmetriegruppe einer Figur im [mm]\IR^2[/mm] wollen wir in dieser Aufgabe die Gruppe aller Drehungen und Spiegelungen, welche die Figur in sich überführen, verstehen.
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente der Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks
b) Ist die Symmetriegruppe des regelmäßigen 3-Ecks kommutativ? Bestimmen Sie alle ihre Untergruppen. |
Hallo,
ich habe ein paar Verständnisprobleme mit dieser Aufgabe. Ich habe bisher folgenden Ansatz formuliert:
Der Normalteiler existiert dann, wenn [mm]gN=Ng[/mm]. Daraus habe ich gefolgert, dass N alle Spiegelungen des Vierecks beinhalten muss. Da ein gleichmäßiges Viereck vier Spiegelachsen zulässt muss gelten: [mm]N:= \left\{ n=1,2,3,4 \right\} \Rightarrow gN:=\left\{ gn= g_1 1, g_2 2,g_3 3, g_4 4: g_i \in G, n \in N, i \in I=N \right\}[/mm].
Was mich an der Aufgabe außerdem stutzig macht ist, dass von "Faktorgruppen" die Rede ist und nicht nur von einer. Ich hätte gesagt, dass G/N die Faktorgruppe darstellt. Was wären die anderen Möglichkeiten?
Vielen Dank schon Mal im Voraus
Schönen Gruß
Christoph
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:08 Mi 17.11.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> 1)Bestimmen Sie alle Normalteiler und zugörigen
> Faktorgruppen der Symmetriegruppe des regelmäßigen
> Vierecks. (siehe Blatt 1 Augfgabe 4)
> 4) Blatt 1) Unter der Symmetriegruppe einer Figur im [mm]\IR^2[/mm]
> wollen wir in dieser Aufgabe die Gruppe aller Drehungen und
> Spiegelungen, welche die Figur in sich überführen,
> verstehen.
>
> a) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente der
> Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks
>
> b) Ist die Symmetriegruppe des regelmäßigen 3-Ecks
> kommutativ? Bestimmen Sie alle ihre Untergruppen.
> Hallo,
>
> ich habe ein paar Verständnisprobleme mit dieser Aufgabe.
> Ich habe bisher folgenden Ansatz formuliert:
>
> Der Normalteiler existiert dann, wenn [mm]gN=Ng[/mm]. Daraus habe
> ich gefolgert, dass N alle Spiegelungen des Vierecks
> beinhalten muss. Da ein gleichmäßiges Viereck vier
> Spiegelachsen zulässt muss gelten: [mm]N:= \left\{ n=1,2,3,4 \right\} \Rightarrow gN:=\left\{ gn= g_1 1, g_2 2,g_3 3, g_4 4: g_i \in G, n \in N, i \in I=N \right\}[/mm].
Diese Folgerung verstehe ich nicht, vllt wg der Schreibweise, sie ist auch falsch. Die 4 Spiegelungen bilden übrigens keine Untergruppe, also erst recht keinen NT.
> Was mich an der Aufgabe außerdem stutzig macht ist, dass
> von "Faktorgruppen" die Rede ist und nicht nur von einer.
> Ich hätte gesagt, dass G/N die Faktorgruppe darstellt. Was
> wären die anderen Möglichkeiten?
Hast du dir mal den Gruppenverband gezeichnet? Die Gruppe hat 8 Elemente, das Ding ist also überschaubar. Weißt du, daß Untergruppen vom Index 2 immer NT sind? Das ist eine beliebte Übungsaufgabe.
Mein Vorschlag: Gib den Elementen vernünftige Namen und such zunächst alle Untergruppen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
> Guten Morgen!
>
> > 1)Bestimmen Sie alle Normalteiler und zugörigen
> > Faktorgruppen der Symmetriegruppe des regelmäßigen
> > Vierecks. (siehe Blatt 1 Augfgabe 4)
> > 4) Blatt 1) Unter der Symmetriegruppe einer Figur im
> [mm]\IR^2[/mm]
> > wollen wir in dieser Aufgabe die Gruppe aller Drehungen und
> > Spiegelungen, welche die Figur in sich überführen,
> > verstehen.
> >
> > a) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente der
> > Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks
> >
> > b) Ist die Symmetriegruppe des regelmäßigen 3-Ecks
> > kommutativ? Bestimmen Sie alle ihre Untergruppen.
> > Hallo,
> >
> > ich habe ein paar Verständnisprobleme mit dieser Aufgabe.
> > Ich habe bisher folgenden Ansatz formuliert:
> >
> > Der Normalteiler existiert dann, wenn [mm]gN=Ng[/mm]. Daraus habe
> > ich gefolgert, dass N alle Spiegelungen des Vierecks
> > beinhalten muss. Da ein gleichmäßiges Viereck vier
> > Spiegelachsen zulässt muss gelten: [mm]N:= \left\{ n=1,2,3,4 \right\} \Rightarrow gN:=\left\{ gn= g_1 1, g_2 2,g_3 3, g_4 4: g_i \in G, n \in N, i \in I=N \right\}[/mm].
>
> Diese Folgerung verstehe ich nicht, vllt wg der
> Schreibweise, sie ist auch falsch. Die 4 Spiegelungen
> bilden übrigens keine Untergruppe, also erst recht keinen
> NT.
Ja du hast recht. Eine Symmetriegruppe beinhaltet ja auch Drehungen und Spiegelungen. Das wären dann 8 Elemente 90, 180, 270 und 360 Grad mit den vier Spiegelachsen (waagerecht, senkrecht, und zweimal diagonal.
>
> > Was mich an der Aufgabe außerdem stutzig macht ist, dass
> > von "Faktorgruppen" die Rede ist und nicht nur von einer.
> > Ich hätte gesagt, dass G/N die Faktorgruppe darstellt. Was
> > wären die anderen Möglichkeiten?
>
> Hast du dir mal den Gruppenverband gezeichnet? Die Gruppe
> hat 8 Elemente, das Ding ist also überschaubar. Weißt du,
> daß Untergruppen vom Index 2 immer NT sind? Das ist eine
> beliebte Übungsaufgabe.
Ich verstehe nicht wie du das meinst. Könntest du das näher erklären bitte? Was meinst du z.B. mit "Untergruppen vom Index 2"? Vielleicht haben wir das nur anders in der Vorlesung behandelt.
>
> Mein Vorschlag: Gib den Elementen vernünftige Namen und
> such zunächst alle Untergruppen.
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
Grüße an die Woterkant
Christoph ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Do 18.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> > Hast du dir mal den Gruppenverband gezeichnet? Die Gruppe
> > hat 8 Elemente, das Ding ist also überschaubar. Weißt du,
> > daß Untergruppen vom Index 2 immer NT sind? Das ist eine
> > beliebte Übungsaufgabe.
>
> Ich verstehe nicht wie du das meinst. Könntest du das
> näher erklären bitte? Was meinst du z.B. mit
> "Untergruppen vom Index 2"? Vielleicht haben wir das nur
> anders in der Vorlesung behandelt.
Der Index ist die Anzahl der Nebenklassen. Wenn der Index 2 ist, gibt es 2 Nebenklassen: die Untergruppe selbst und eine weitere. Die Untergruppe ist sozusagen halb so groß wie die Gruppe. In einer Gruppe der Ordnung 8 haben genau die Untergruppen der Ordnung 4 den Index 2. Die sind also auf jeden Fall NT.
Gruß aus dem Norden
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo Dieter, ich verstehe jetzt imm er noch nicht, wie ich jetzt den Normalteiler mit den Faktorgruppen ermitteln soll??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Hallo Dieter, ich verstehe jetzt imm er noch nicht, wie ich
> jetzt den Normalteiler mit den Faktorgruppen ermitteln
> soll??
Hast du denn überhaupt eine Liste der Untergruppen?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo Dieter,
ich habe versucht die Untergruppen herauszufinden, indem ich die Potenzmenge meiner Gruppe mit den acht Elemanten gebildet habe. Dabei entstehen [mm]2^8= 256[/mm] Teilmengen. Abzüglich der leeren Menge, einelementigen Menge, außer dem neutralen Element, der Mengen ohne neutralem Element und ohne inversem Element komme ich auf 242 Untergruppen. Ich bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt
Gruß
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Christoph!
> ich habe versucht die Untergruppen herauszufinden, indem
> ich die Potenzmenge meiner Gruppe mit den acht Elemanten
> gebildet habe. Dabei entstehen [mm]2^8= 256[/mm] Teilmengen.
> Abzüglich der leeren Menge, einelementigen Menge, außer
> dem neutralen Element, der Mengen ohne neutralem Element
> und ohne inversem Element komme ich auf 242 Untergruppen.
> Ich bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt
Das sind zwar alles Teilmengen, aber fast alle davon sind keine Untergruppen!
Kennst du den Satz von Lagrange? Der sagt etwas ueber die Ordnung von Untergruppen aus. Untergruppen der Ordnung 1 und 8 kannst du schnell finden. Untergruppen der Ordnung 2 werden von einem Element der Ordnung 2 erzeugt (da sie zyklisch sind).
Etwas mehr arbeiten musst du also nur bei Ordnung 4. Eine solche Untergruppe kann zyklisch sein, oder eben auch nicht. Untersuche beide Faelle getrennt!
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
danke für deine Teilnahme. Diesen Satz haben wir nicht durchgenommen. kannst du ihn mir bitte erklären?
Danke schon mal im Voraus.
Gruß
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Christoph!
> danke für deine Teilnahme. Diesen Satz haben wir nicht
> durchgenommen. kannst du ihn mir bitte erklären?
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Wenn ihr den Satz nicht hattet, schau dir erstmal die von einem Element erzeugte Untergruppe an. (Also zu jedem Element schau dir alle Potenzen an.)
Wenn du die hast (das sind die zyklischen Untergruppen), nimm jeweils zu einer solchen Untergruppe ein weiteres Element hinzu und gucke die davon erzeugte Untergruppe an.
Und so weiter...
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
also ich habe jetzt 10 Untergruppen: Das neutrale Element für sich ist eine Gruppe (Ordnung 1), die Symmetriegruppe ist als solches eine Untergruppe von sich slebst (Ordnung 8), alle Drehungen bilden eine Untergruppe (Ordnung 4) und dann kommen noch sieben weitere Unterggruppen (Ordnung 2). Das neutrale Element und einanderes aus der Symmetriegruppe.
Ist das so richtig?
Schöne Grüße
Christoph
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
Mir fehlt noch eine Untergruppe. Kannst du mir sagen, wie man die letzte ermittelt?
Untergruppen:
{Das neutrale Element} 1x Ordnung 1
{Die Symmetriegruppe} 1x Ordnung 8
{e,180 Drehung} {e, waagerechte Spiegelung}, {e, senkrechte Spiegelung}, {e, Diagonalspiegelung von linksoben nach rechtsunten},{e, Diagonalspiegelung von linksunten nach rechtsobenoben} 5x Ordnung 2 (selbstinvers)
{Drehungen} (zyklische Gruppe)
{Spiegelungen} (Didiergruppe) 2x Ordnung 4
Gruß
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mi 24.11.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Christoph!
> Hallo Felix,
Ich bin es nicht, antworte aber trotzdem.
> Mir fehlt noch eine Untergruppe. Kannst du mir sagen, wie
> man die letzte ermittelt?
>
> Untergruppen:
>
> {Das neutrale Element} 1x Ordnung 1
>
> {Die Symmetriegruppe} 1x Ordnung 8
>
> {e,180 Drehung} {e, waagerechte Spiegelung}, {e, senkrechte
> Spiegelung}, {e, Diagonalspiegelung von linksoben nach
> rechtsunten},{e, Diagonalspiegelung von linksunten nach
> rechtsobenoben} 5x Ordnung 2 (selbstinvers)
Bis hier OK.
> {Drehungen} (zyklische Gruppe)
Das ist eine Untergr. der Ordnung 4, auch OK.
> {Spiegelungen} (Didiergruppe) 2x Ordnung 4
Die Spiegelungen bilden keine Untergruppe, das Thema hatten wir schon.
Aber welche Untergruppe wird von den beiden Seitenmittenspiegelungen erzeugt? Und welche von den beiden Diagonalspiegelungen?
Eine Didiergruppe gibt es nicht. Das Ding heißt Diedergruppe, bei der Aussprache werden das i und das e getrennt, und das ist die ganze Gruppe mit (in diesem Fall) 8 Elementen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Vielen Dank euch beiden! Ich habe die Aufgabe bub erfolgreich lösen können.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
