Normalteiler, ord G = p^2*q < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:58 Di 18.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe der Ordnung $p^2q$ mit zwei verschiedenen Primzahlen [mm] $p,q\:$.
[/mm]
Zeigen Sie: G hat einen echten Normalteiler. |
Hallo,
ich kann die Aussage auf einen Spezialfall zurückführen, komme dann aber nicht weiter. Ich bin so vorgegangen:
In G existieren je mind. eine p-Sylowgruppe [mm] $P\:$ [/mm] und eine q-Sylowgruppe [mm] $Q\:$. $n_p$ [/mm] sei die Anzahl der p-Sylowgruppen, [mm] $n_q$ [/mm] die der q-Sylowgruppen. Dann gilt:
1. [mm] $n_p \:|\: [/mm] [G:P] = q [mm] \Rightarrow n_p \in \{1,q\}$
[/mm]
2. [mm] $n_p \equiv 1\:mod\:p$
[/mm]
3. [mm] $n_q \:|\: [/mm] [G:Q] = [mm] p^2 \Rightarrow n_q \in \{1,p,p^2\}$
[/mm]
4. [mm] $n_q \equiv 1\:mod\:q$
[/mm]
Ist [mm] $n_p=1\:$ [/mm] oder [mm] $n_q=1\:$, [/mm] so ist die eizige p- bzw. q-Sylowgruppe bereits ein echter Normalteiler.
Sei also weiter [mm] $n_p [/mm] = q [mm] \Rightarrow [/mm] q [mm] \equiv 1\:mod\:p \Rightarrow [/mm] p=2$
Fall a: [mm] $n_q [/mm] = p=2 [mm] \Rightarrow [/mm] 2=p [mm] \equiv 1\:mod\:q$ [/mm] Widerspruch!
Fall b: [mm] $n_q [/mm] = [mm] p^2=4 \Rightarrow [/mm] 4 [mm] \equiv 1\:mod\:q \Rightarrow [/mm] q = 3$
Ich habe die Annahme, dass G keinen echten Normalteiler enthält, auf den Fall $p=2, [mm] q=3\:$ [/mm] zurückgeführt, außerdem ist die Anzal der 2-Sylowgruppen 3 und die Anzahl der 3-Sylowgruppen 4. G hat die Ordnung 12. Ich muss entweder zeigen, dass eine solche Gruppe nicht existiert oder dass sie einen echten Normalteiler hat.
Kann ich nun weiter kommen ohne konkret alle Gruppen der Ordnung 12 zu betrachten, was beweistechnisch doch recht zeitraubend wäre?
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Lippel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:58 Mi 19.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm]p^2q[/mm] mit zwei verschiedenen
> Primzahlen [mm]p,q\:[/mm].
> Zeigen Sie: G hat einen echten Normalteiler.
> Hallo,
>
> ich kann die Aussage auf einen Spezialfall zurückführen,
> komme dann aber nicht weiter. Ich bin so vorgegangen:
>
> In G existieren je mind. eine p-Sylowgruppe [mm]P\:[/mm] und eine
> q-Sylowgruppe [mm]Q\:[/mm]. [mm]n_p[/mm] sei die Anzahl der p-Sylowgruppen,
> [mm]n_q[/mm] die der q-Sylowgruppen. Dann gilt:
> 1. [mm]n_p \:|\: [G:P] = q \Rightarrow n_p \in \{1,q\}[/mm]
> 2. [mm]n_p \equiv 1\:mod\:p[/mm]
>
> 3. [mm]n_q \:|\: [G:Q] = p^2 \Rightarrow n_q \in \{1,p,p^2\}[/mm]
>
> 4. [mm]n_q \equiv 1\:mod\:q[/mm]
>
> Ist [mm]n_p=1\:[/mm] oder [mm]n_q=1\:[/mm], so ist die eizige p- bzw.
> q-Sylowgruppe bereits ein echter Normalteiler.
>
> Sei also weiter [mm]n_p = q \Rightarrow q \equiv 1\:mod\:p[/mm]
soweit ok, aber
> [mm]\Rightarrow p=2[/mm]
halte ich fuer ein Geruecht (etwa $q = 11$, $p = 5$).
Also angenommen, [mm] $n_q [/mm] > 1$; also [mm] $n_q \in \{ p, p^2 \}$.
[/mm]
Falls [mm] $n_q [/mm] = [mm] p^2$ [/mm] ist, dann gibt es [mm] $p^2 [/mm] (q - 1)$ Elemente der Ordnung $q$ und eins der Ordnung 1, womit es [mm] $p^2 [/mm] q - [mm] p^2 [/mm] (q - 1) - 1 = [mm] p^2 [/mm] - 1$ Elemente der Ordnung $p$ oder [mm] $p^2$ [/mm] gibt. Damit gibt es aber genau eine Untergruppe der Ordnung [mm] $p^2$, [/mm] also [mm] $n_p [/mm] = 1$.
Damit bleibt der Fall [mm] $n_q [/mm] = p$ und es gibt [mm] $p^2 [/mm] q - p (q - 1) - 1 = (p q + 1) (p - 1)$ Elemente der Ordnung $p$ oder [mm] $p^2$. [/mm] Falls es ein Element der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] gibt und ist [mm] $n_p [/mm] = q$, so gibt es $q [mm] (p^2 [/mm] - p) = p q (p - 1)$ Elemente der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] und somit $p - 1$ Elemente der Ordnung $p$. Zwei Untergruppen der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] haben also alle Elemente der Ordnung $p$ gemeinsam.
Falls es kein Element der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] gibt und ist [mm] $n_p [/mm] = q$, so gibt es mindestens zwei Untergruppen der Ordnung [mm] $p^2$, [/mm] die nicht-trivialen Schnitt haben, jedoch gibt es hoechstens $q (p + 1) (p - 1) - (p q + 1) (p - 1) = (q - 1) (p - 1)$ Elemente der Ordnung $p$, die in mehr als einer Untergruppe liegen.
Vielleicht kommst du damit weiter...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 21.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
