Normalverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Do 15.03.2007 | | Autor: | laleluli |
| Aufgabe | In einer Abfüllanlage wird Fanta in 1-Literflaschen abgefüllt. Die zufällige Abfüllmenge kann als eine normalverteilte Zufallsgröße X aufgefasst werden. Dabei hat sich bei Untersuchungen herausgestellt, dass sich in 10% der Flaschen weniger als 950ml und in 5% mehr als 1050ml Fanta befinden.
Ermitteln Sie für die normalverteilte Zufallsgröße X den Erwartungswert und die Standardabweichung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß nicht, wie ich den Erwartungswert und die Standardabweichung berechnen soll, da die jeweiligen Prozentzahlen (10% und 5%) nicht gleich sind. Wären sie gleich, könnte ich für die Erwartungswertermittlung ja einfach den Mittelwert nehmen, aber das funktioniert hier ja nicht.
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Hallo laleluli!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> In einer Abfüllanlage wird Fanta in 1-Literflaschen
> abgefüllt. Die zufällige Abfüllmenge kann als eine
> normalverteilte Zufallsgröße X aufgefasst werden. Dabei hat
> sich bei Untersuchungen herausgestellt, dass sich in 10%
> der Flaschen weniger als 950ml und in 5% mehr als 1050ml
> Fanta befinden.
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> Ermitteln Sie für die normalverteilte Zufallsgröße X den
> Erwartungswert und die Standardabweichung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich weiß nicht, wie ich den Erwartungswert und die
> Standardabweichung berechnen soll, da die jeweiligen
> Prozentzahlen (10% und 5%) nicht gleich sind. Wären sie
> gleich, könnte ich für die Erwartungswertermittlung ja
> einfach den Mittelwert nehmen, aber das funktioniert hier
> ja nicht.
Das lässt sich recht einfach mittels dem Tabellenwerk (ich benutze das von der DGQ:Deutsche Gesellschaft für Qualität e.V.) für die standardisierter Normalverteilung berechnen.
Die Standardisierung erfolgt ja durch [mm] u=\bruch{x-\mu}{\sigma} [/mm] wobei [mm] \mu [/mm] der Erwartungswert und [mm] \sigma [/mm] die Standardabweichung sind. In der Tabelle, welche ich verwende, wird die Fläche unter der Normalverteilung als G(u) angegeben. Diese Fläche repräsentiert die prozentuale Wahrscheinlichkeit für die Merkmalsausprägung u. In deinem Fall weisst du also, daß die Fläche unter der Normalverteilung von links bis zu 950ml genau 10 Prozent bzw. 0,1 entsprechen muss [mm] (G(u_{1}=0,1). [/mm]
Ebenfalls ist bekannt, daß die Fläche unter der Normalverteilung von rechts bis 1050ml genau 5 Prozent bzw. 0,05 entsprechen muss. Anders herum könnte man auch sagen, daß die Fläche von links bis zu 1050ml genau 95 Prozent bzw. 0,95 entsprechen muss [mm] (G(u_{2}=0,95).
[/mm]
Nun kannst du die entsprechenden Werte für [mm] u_{1} [/mm] bzw. [mm] u_{2} [/mm] aus dem Tabellenwerk heraussuchen.
Da [mm] G(u_{1})=0,1 [/mm] sein soll, kann man für [mm] u_{1}-1,28 [/mm] ermitteln (in meiner Tabelle war der Wert 0,1 nicht genau enthalten, ich habe deshalb den Wert für 0,10027 genommen).
In gleicher Weise erhält man gemäß [mm] G(u_{2}=0,95) [/mm] laut Tabelle für [mm] u_{2}=1,64 [/mm] (für diese [mm] u_{2} [/mm] ergibt sich [mm] G(u_{2})=0,94950).
[/mm]
Nun kann man mit Hilfe der Standradisierungsformel (siehe oben) ein Gleichungssystem aufstellen:
I: [mm] -1,28=\bruch{950-\mu}{\sigma}
[/mm]
II: [mm] 1,64=\bruch{1050-\mu}{\sigma}
[/mm]
Wenn du dieses Gleichungssystem löst solltest du für den Erwartungswert [mm] \mu=993,84ml [/mm] und für die Standardabweichung [mm] \sigma=34,24ml [/mm] erhalten.
Gruß,
Tommy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Do 15.03.2007 | | Autor: | laleluli |
Danke, du hast mir mit der ausführlichen Antwort sehr geholfen!
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