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Forum "Uni-Stochastik" - Normalverteilung
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Normalverteilung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Sa 23.06.2012
Autor: jack2k3

Aufgabe
Nach der Rast wird weiter gewandert, und einer der Teilnehmer will sich einen Wanderstock kaufen. Der Laden hat 23 Stöcke im Angebot, und da der Teilnehmer ein pensionierter Ingenieur ist, misst er zunächst die Durchmesser der Stöcke, er erhält folgende Ergebnisse.

Anzahl der Stöcke             Durchmesser
2                                18,5
2                                19
5                                20
7                                20,5
3                                21
1                                21,5
2                                22
1                                23
Es wird eine Normalverteilung dieser Werte unterstellt.

Geben Sie einen erwartungstreuen Schätzwert für Erwartungswert und Varianz der Stockdurchmesser an.

Hallo Matheraum,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

für die genannte Aufgabe habe ich folgende Lösung errechnet:
A) Erwartungswert:

Stöcke insg. 23
Somit die Rechnung:

[mm] E(X)=\bruch{2}{23}*18,5+\bruch{2}{23}*19+\bruch{5}{23}*20+\bruch{7}{23}*20,5+\bruch{3}{23}*21+\bruch{1}{23}*21,5+\bruch{2}{23}*22+\bruch{1}{23}*23 [/mm]

E(X)=1,60+1,65+4,34+6,23+2,73+0,93+1,91+1
E(X)=20,39

Somit wäre (nach meiner Rechnung) der Erwartungswert bei 20.39 cm.

B) Varianz
Hierbei geht es (wenn ich es richtig verstanden habe) darum, die Abweichung vom Erwartungswert zu berechnen.

Ich habe dafür folgende Formel genommen.
Var(x)= [mm] (E(X)-x_i)^2*P(X=x_i)+ [/mm] ... + [mm] (E(X)-x_n)^2*P(X=x_n) [/mm]

Meine Rechnung:
[mm] Var(x)=(20,39-18,5)^2*\bruch{2}{23}+(20,39-19)^2*\bruch{2}{23}+(20,39-20)^2*\bruch{5}{23}+(20,39-20,5)^2*\bruch{7}{23}+(20,39-21)^2*\bruch{3}{23}+(20,39-21,5)^2*\bruch{1}{23}+(20,39-22)^2*\bruch{2}{23}+(20,39-23)^2*\bruch{1}{23} [/mm]

Var(X)=0,310+0,168+0,033+0,003+0,048+0,053+0,225+0,29

Var(X)= 1,13

Somit beträgt die durchschnittliche Abweichung von dem Erwartungswert 1.13 cm.


Liege ich mit meinen Lösungen richtig ?

Gruß
Jack2k3

        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Sa 23.06.2012
Autor: tagg

Hallo,

soweit mir bekannt ist, ist das arithmetische Mittel immer ein erwartungstreuer Schätzwert für den Erwartungswert. Somit sollte deine erste Rechnung stimmen, wenn du alle Werte richtig berechnet hast (habs jetzt nicht nachgerechnet)

zu der Varianz:
Du hast hier nicht explizit den Erwartungswert gegeben, sondern kannst diesen nur durch das arithmetische Mittel abschätzen, was du auch getan hast. Deshalb müsstest du dich aber eigentlich der folgenden Formel bedienen, um einen erwartungstreuen Schätzer für die Varianz zu erhalten:

[mm]s_{N}^{2}=\bruch{1}{N-1}\summe_{i=1}^{N}(X_{i}-\overline{X}_{N})^{2}[/mm]

Woher hast du denn die Formel, die du dafür benutzt hattest?

Gruß
tagg

Bezug
                
Bezug
Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Sa 23.06.2012
Autor: jack2k3

Hallo Tagg,

die Formel habe ich von http://www.youtube.com/watch?v=bgxlMQttvgE
Da ich mit der Formel aus meinem Heft nicht klar komme. Aber schon deine Formel anzuwenden bereitet mir ein paar Probleme.

Gruß
Jack2k3

Bezug
                        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Sa 23.06.2012
Autor: M.Rex

Hallo Jack2k3  (und Tagg)

Zuerst einmal [willkommenmr]

> Hallo Tagg,
>  
> die Formel habe ich von
> http://www.youtube.com/watch?v=bgxlMQttvgE
>  Da ich mit der Formel aus meinem Heft nicht klar komme.

Welche Formel meinst du denn?

> Aber schon deine Formel anzuwenden bereitet mir ein paar
> Probleme.

Bei Taggs Formel, das wäre auch meine "Formelwahl", also:
$ [mm] s_{N}^{2}=\bruch{1}{N-1}\summe_{i=1}^{N}(X_{i}-\overline{X}_{N})^{2} [/mm] $
ist , in deinem Fall:

N=23 (Das sind die Anzahl der Stöcke)
Und
[mm] $\overline{X}_{N}=\frac{2\cdot18,5+2\cdot19+5\cdot20+7\cdot20,5+3\cdot21+21,5+2\cdot22+23}{23}=\frac{470}{23}$ [/mm]

>  
> Gruß
>  Jack2k3

Marius


Bezug
                        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 So 24.06.2012
Autor: tagg

Vielleicht noch kurz zur Begründung:

Du hast hier die Aufgabe, Erwartungswert und Varianz zu SCHÄTZEN. Du hast in dieser Aufgabe keinerlei explizite Wahrscheinlichkeiten gegeben und musst dich deshalb auch auf relative Häufigkeiten stützen (darin besteht ein großer Unterschied :-) )
Aus diesem Grund darfst du in dieser Aufgabe die üblichen Formeln, die dir auch in diesem Youtube Video vorgestellt werden, nicht benutzen, sondern eben nur die "Schätz-Formeln".

Bei der Varianz musst du durch die Anzahl minus eins teilen, weil du ansonsten (nur durch die Anzahl teilen) im Mittel zu kleine Werte für die Varianz bekommen würdest, das wäre dann nicht mehr erwartungstreu (das kann man beweisen).

Zur Formel an sich: Wie Marius schon sagte, N=23, die [mm] X_{i} [/mm] sind die Werte für die Stockdurchmesser und [mm] \overline{X}_{N} [/mm] ist der Schätzwert für den Erwartungswert (bzw. das arithmetische Mittel!). Einfach für jedes i einsetzen, aufsummieren und am ende durch 22 teilen ;-)

Welche Formel steht in deinem Heft?

Gruß
tagg

Bezug
                                
Bezug
Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Mi 05.06.2013
Autor: micha83

Wäre die Varianz dann 20,43?

Bezug
                                        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mi 05.06.2013
Autor: luis52


> Wäre die Varianz dann 20,43?

[notok]

[mm] $\sum_{i=1}^{23}(x_i-\bar x)^2/22=1.1887$, $\sum_{i=1}^{23}(x_i-\bar x)^2/23=1.1371$. [/mm]

vg Luis



Bezug
                                                
Bezug
Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:43 Mi 05.06.2013
Autor: micha83

vielen dank!

Bezug
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