Normalverteilung Fehler < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Do 19.12.2013 | | Autor: | MK234 |
Hallo,
es geht um zwei Normalverteilungen und deren Alpha- und Betafehler bzw. Fehler 1.Art und Fehler 2. Art.
Angenommen ich habe zwei normalverteilte Dichtefunktionen, welche sich schneiden. Die Funktion mit dem kleineren Erwartungswert beschreibt die Nullhypothese und die Funktion mit dem größeren Erwartungswert die Alternativhypothese. Der Alpha-Fehler wäre dann das Integral der 1. Funktion ab einem kritischen Wert bis unendlich und der Beta-Fehler das Integral der 2. Funktion von Minus-unendlich bis zum kritischen Wert. Wenn ich nun versuche die Summe des Alpha- und Beta-Fehlers zu minimieren, dann müßte doch der kritische Wert derart verändert werden, dass er sich beim Schnittpunkt der beiden Funktionen befindet, oder?
Kann dieser Ansatz stimmen?
(Kritische Wert ist die Grenze zwischen Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.statistik-forum.de/allgemeine-fragen-f5/summe-von-alpha-und-beta-fehler-minimieren-t3692.html]
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> Hallo,
> es geht um zwei Normalverteilungen und deren Alpha- und
> Betafehler bzw. Fehler 1.Art und Fehler 2. Art.
> Angenommen ich habe zwei normalverteilte Dichtefunktionen,
> welche sich schneiden. Die Funktion mit dem kleineren
> Erwartungswert beschreibt die Nullhypothese und die
> Funktion mit dem größeren Erwartungswert die
> Alternativhypothese. Der Alpha-Fehler wäre dann das
> Integral der 1. Funktion ab einem kritischen Wert bis
> unendlich und der Beta-Fehler das Integral der 2. Funktion
> von Minus-unendlich bis zum kritischen Wert. Wenn ich nun
> versuche die Summe des Alpha- und Beta-Fehlers zu
> minimieren, dann müßte doch der kritische Wert derart
> verändert werden, dass er sich beim Schnittpunkt der
> beiden Funktionen befindet, oder?
>
> Kann dieser Ansatz stimmen?
Hallo MK234
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich habe mir dazu eine Skizze gemacht und halte deine
Annahme für plausibel, jedenfalls dann, wenn [mm] H_0 [/mm] und [mm] H_1
[/mm]
genügend weit auseinander liegen, dass der abfallende
Teil der [mm] H_0 [/mm] - Kurve sich mit dem aufsteigenden Teil der
[mm] H_1 [/mm] - Kurve kreuzt. Die Fläche, welche die Summe der
beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten darstellt, nimmt dann
stets zu, wenn man den kritischen Wert von der Stelle
des Schnittpunktes wegbewegt.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Do 19.12.2013 | | Autor: | MK234 |
Danke für die bestätigende Antwort. Wenn sich nun aber die beiden Dichtefunktionen an zwei Stellen schneiden, weil sie sich in der Varianz unterscheiden, also eine Funktion direkt auf der anderen liegt, wie kann man dann die Summe der beiden Fehler Alpha und Beta minimieren? Könnte das dann vielleicht über die Ableitung von Alpha+Beta funktionieren, wenn man also die Nullstellen sucht?
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> Danke für die bestätigende Antwort. Wenn sich nun aber
> die beiden Dichtefunktionen an zwei Stellen schneiden, weil
> sie sich in der Varianz unterscheiden, also eine Funktion
> direkt auf der anderen liegt, wie kann man dann die Summe
> der beiden Fehler Alpha und Beta minimieren? Könnte das
> dann vielleicht über die Ableitung von Alpha+Beta
> funktionieren, wenn man also die Nullstellen sucht?
Hallo,
ich kann zwar nur so ungefähr vermuten, was du
meinst. Falls es aber möglich ist, die Summe der
Wahrscheinlichkeiten für Fehler erster und zweiter
Art formal hinzuschreiben und abzuleiten, steht
natürlich der normale Weg der Bearbeitung eines
Extremalproblems mittels Ableitungen offen !
LG , Al-Chw.
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