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Forum "Stochastik" - Normalverteilung "mindestens"
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Normalverteilung "mindestens": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 So 07.03.2010
Autor: newflemmli

Aufgabe
Eine Fabrik stellt Transistoren mit einer Ausschussquote von 5% her. Eine Sendung wird dann zurückgenommen, wenn sich der Stichprobe von 50 Stück mehr als 4 unbrauchbare Transitoren finden lasse.

Lösung soll sein P(x>4)=10,36%

Mein Ansatz:

Rücknahme bei: P(x>4) = ?

[mm] \mu [/mm] = n * p = 0,05 * 50 = 2,5
[mm] \o [/mm] = 1.5411....

Also N(2,5 ; [mm] 1,54^2) [/mm] - Verteilung

Ermittlung von Z:

+z = (4 - 2,58 / 1.54  [mm] \approx [/mm] 0,9733
Z= 0,97
phi(z) = 0.8340
1- 0.8340 = 0,166      und das ist flasch :(

Was mach ich da nicht richtig?

        
Bezug
Normalverteilung "mindestens": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 So 07.03.2010
Autor: newflemmli

ergänzung: Vertippt heißt natürlich (4 - 2,5) / Sigma ^^
stimmt aber trotzdem nicht ^^

Bezug
        
Bezug
Normalverteilung "mindestens": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 So 07.03.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Eine Fabrik stellt Transistoren mit einer Ausschussquote
> von 5% her. Eine Sendung wird dann zurückgenommen, wenn
> sich der Stichprobe von 50 Stück mehr als 4 unbrauchbare
> Transitoren finden lasse.
>  Lösung soll sein P(x>4)=10,36%
>  
> Mein Ansatz:
>  
> Rücknahme bei: P(x>4) = ?

Genau.
Auf die exakte Lösung oben wirst du aber nur kommen, wenn du

[mm] 1-P(X\le [/mm] 4)

ausrechnest, also P(X=0), P(X=1),...,P(X=4) jeweils mit der Bernoulli-Ketten-Formel.
Sobald du Näherung anwendest, kann nicht mehr das exakte Ergebnis rauskommen.

> [mm]\mu[/mm] = n * p = 0,05 * 50 = 2,5
>  [mm]\o[/mm] = 1.5411....
>  
> Also N(2,5 ; [mm]1,54^2)[/mm] - Verteilung

[ok]

> Ermittlung von Z:
>  
> +z = (4 - 2,5 / 1.54  [mm]\approx[/mm] 0,9733
>  Z= 0,97
>  phi(z) = 0.8340

[ok]

>  1- 0.8340 = 0,166      und das ist flasch :(
>  
> Was mach ich da nicht richtig?

Im Grunde machst du es richtig.

Zweierlei kannst du verbessern:

>>> Es ist

$P(X>4) = 1 - [mm] P(X\le [/mm] 4) = 1 - [mm] \Phi\left(\frac{4+0.5-\mu}{\sigma}\right)$ [/mm]

(0,5 - Regel),

>>> und du kannst auch probieren:

$P(X>4) = 1 - [mm] P(0\le X\le [/mm] 4) = 1 - [mm] \left(\Phi\left(\frac{4-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{0-\mu}{\sigma}\right)\right)$ [/mm]

>>> bzw. beides zusammen dürfte das exakteste Ergebnis liefern:

$P(X>4) = 1 - [mm] P(0\le X\le [/mm] 4) = 1 - [mm] \left(\Phi\left(\frac{4+0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{0-0.5-\mu}{\sigma}\right)\right)$ [/mm]

Grüße,
Stefan

Bezug
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