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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Do 03.01.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe | Die Abfüllmenge von Orangensaft sei normalverteilt mit
[mm] \mu=1L
[/mm]
[mm] \sigma=0,01L
[/mm]
a) Wie groß ist der prozentuale Anteil der Ausschuß-Flaschen, bei denen die Füllmenge um mehr als 0,02L betragsmäßig vom Sollwert 1L abweicht.
b) Bei höchstens 3% der Flaschen soll die Füllmenge um mehr als x betragsmäßig vom Sollwert 1L abweichen. Berechenen Sie x.
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zu a)
X=Abfüllmenge in L
X [mm] \approx N(\mu [/mm] , [mm] \sigma)
[/mm]
N(1L, 0,01L)
P(0,98 [mm] \le [/mm] X [mm] \ge [/mm] 1,02)
[mm] \Phi \left( \bruch{X- \mu}{\sigma} \right)
[/mm]
[mm] \Phi \left( \bruch{1,02L-1L}{0,01L} \right) [/mm] - [mm] \Phi \left( \bruch{0,98L-1L}{0,01} \right)
[/mm]
gekürzt ergibt das
[mm] \Phi [/mm] (2) - [mm] \Phi(-2)
[/mm]
[mm] \Phi(2) [/mm] aus der Tabelle abgelesen = 0,977250
[mm] \Phi(-2) [/mm] = [mm] 1-\Phi(2) [/mm] = 0,02275
0,977250-0,02275=0,9545 -> Das ist der Anteil der Flaschen bei denen die Füllmenge um weniger als 0,02L abweicht.
1-0,9545 = 0,0455 -> Das ist der Anteil der Flaschen bei denen die Füllmenge um mehr als 0,02L abweicht.
zu b)
[mm] \mu=1L
[/mm]
[mm] \sigma=0,01L
[/mm]
P=3% 0,03
[mm] \Phi \left( \bruch{1+a-1}{0,01L} \right) [/mm] - [mm] \Phi \left( \bruch{1-a-1}{0,01} \right)
[/mm]
[mm] \Phi (\bruch{a}{0,01}) [/mm] - [mm] \Phi(\bruch{-a}{0,01})=0,03
[/mm]
[mm] \Phi (\bruch{a}{0,01}) [/mm] - [mm] \left[ 1- \Phi(\bruch{a}{0,01}) \right]=0,03
[/mm]
[mm] 2*\Phi(\bruch{a}{0,01})-1=0,03
[/mm]
???
wie geht es dann weiter? Bei a) bin ich mir sicherer, dass da überhautpt was stimmt, aber bei b\ fehlt mir jetzt die Idee.
Ich würde mich sehr über Berichtigungen und Hilfe freuen
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Do 03.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Die Abfüllmenge von Orangensaft sei normalverteilt mit
>
> [mm]\mu=1L[/mm]
> [mm]\sigma=0,01L[/mm]
>
> a) Wie groß ist der prozentuale Anteil der
> Ausschuß-Flaschen, bei denen die Füllmenge um mehr als
> 0,02L betragsmäßig vom Sollwert 1L abweicht.
>
> b) Bei höchstens 3% der Flaschen soll die Füllmenge um mehr
> als x betragsmäßig vom Sollwert 1L abweichen. Berechenen
> Sie x.
>
> zu a)
> X=Abfüllmenge in L
> X [mm]\approx N(\mu[/mm] , [mm]\sigma)[/mm]
> N(1L, 0,01L)
>
> P(0,98 [mm]\le[/mm] X [mm]\ge[/mm] 1,02)
> [mm]\Phi \left( \bruch{X- \mu}{\sigma} \right)[/mm]
>
> [mm]\Phi \left( \bruch{1,02L-1L}{0,01L} \right)[/mm] - [mm]\Phi \left( \bruch{0,98L-1L}{0,01} \right)[/mm]
>
> gekürzt ergibt das
>
> [mm]\Phi[/mm] (2) - [mm]\Phi(-2)[/mm]
>
> [mm]\Phi(2)[/mm] aus der Tabelle abgelesen = 0,977250
> [mm]\Phi(-2)[/mm] = [mm]1-\Phi(2)[/mm] = 0,02275
> 0,977250-0,02275=0,9545 -> Das ist der Anteil der Flaschen
> bei denen die Füllmenge um weniger als 0,02L abweicht.
> 1-0,9545 = 0,0455 -> Das ist der Anteil der Flaschen bei
> denen die Füllmenge um mehr als 0,02L abweicht.
>
> Stimmt das so, oder sind da Fehler drin?
die Vorgehensweise ist absolut korrekt. Ein Größer-gleich muß zu Kleiner-gleich werden, da oben in P.
Die Zahlen selbst habe ich in der Tabelle nicht nachgeschlagen, also keine Garantie.
Tipp: [mm] $\Phi(a) [/mm] - [mm] \Phi(-a) [/mm] = 2 * [mm] \Phi(a) [/mm] - 1.$
> Ich würde mich
> sehr über Berichtigungen freuen
dann hoffe ich, du bist jetzt nicht enttäuscht 
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Do 03.01.2008 | | Autor: | Amarradi |
Hallo zusammen hallo koepper,
unsere Abfassungen haben sich überschnitten, da du schnell geantwortet hast als ich die Frage bearbeiten konnte.
Kannst Du (oder jemand anderes) bitte Teilaufgabe b) noch ansehen.
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Do 03.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Marcus,
ich sehe gerade, daß Luis dir schon geantwortet hat.
Die dortige Rechnung verfolgt aber ein etwas anderes Konzept. Hier eine Alternative.
Gesucht ist ein x mit $P(1-x < X < 1+x) >0.97$
Die übliche Transformation auf die Standard-Normalverteilung liefert
[mm] $P\left(\frac{-x}{0.01} < \frac{X - \mu}{\sigma} < \frac{x}{0.01}\right) [/mm] > 0.97.$
Mit meinem Tipp im oberen Beitrag kann man das so berechnen:
$2 * [mm] \Phi\left(\frac{x}{0.01}\right) [/mm] - 1 > 0.97 [mm] \Longleftrightarrow \Phi\left(\frac{x}{0.01}\right) [/mm] > 0.985.$
Ablesen aus der Tabelle:
[mm] $\frac{x}{0.01} \approx [/mm] 2.17$ also $ x [mm] \approx [/mm] 0.0217$ wie schon Luis gezeigt hat.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Amarradi |
Hallo zusammen, hallo koepper, hallo luis,
danke für eure Antworten, ich habe mir beidn Lösungen angeschaut und muss sagen mit der von koepper komme ich noch am ehesten im kopf klar, weil diese den Seminaraufgaben am ähnlichsten ist. Aber ich sche gerade noch so eine Aufgabe ums nochmal zu üben...
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Fr 04.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hallo zusammen, hallo koepper, hallo luis,
>
> danke für eure Antworten, ich habe mir beidn Lösungen
> angeschaut und muss sagen mit der von koepper komme ich
> noch am ehesten im kopf klar,
Das tut mir sehr weh! ![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]")
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Amarradi |
Hallo Luis,
sei doch nicht traurig, ich schreibe zum trost grad eine Frage aus dem Gebiet der Mengenlehre, wenn Du Dich noch 10 min gedulden kannst ....
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 03.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Marcus,
gesucht ist [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $P(|X-\mu|>x)=1-P(|X-\mu|\le [/mm] x)=0.03$, also
[mm] $P(\mu- x\le X\le \mu+x)=0.97$. [/mm] Damit muss [mm] $\mu+x$ [/mm] der 98.5%-Punkt der
Verteilung sein. Prozentpunkte [mm] $x_p$ [/mm] einer Normalverteilung berechnet man
gemaess der Formel [mm] $x_p=\mu+z_p\sigma$, [/mm] wobei [mm] $z_p$ [/mm] der entsprechende
Prozentpunkt der Standardnormalverteilung ist. Fuer deine Aufgabe heisst
das:
[mm] $\mu+x=x_{0.985}= \mu+z_{0.985}\sigma \Leftrightarrow x=z_{0.985}\sigma=2.17\times0.01=0.0217$.
[/mm]
vg
Luis
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