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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:14 So 02.12.2007 | | Autor: | Jana85 |
Hallo Leute,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
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Aufgabe:
a) Beweisen Sie, dass zu jeder Norm ||.|| auf [mm] \IR^{n} [/mm] existieren a,A > 0 mit
[mm] a||x||_{\infty} \le [/mm] ||x|| [mm] \le A||x||_{\infty}
[/mm]
b) Eine Matrixnorm [mm] ||.||_{M} [/mm] heißt induziert von einer Vektornorm [mm] ||.||_{V}, [/mm] falls gilt
[mm] ||A||_{M} [/mm] = [mm] sup_{x \not= 0} \bruch{||Ax||_{V}}{||x||_{V}} [/mm] = [mm] sup_{||x||_{V}=1} ||Ax||_{V}
[/mm]
Gegeben Sei nun die Spektralnorm [mm] ||.||_{S} [/mm] einer Matrix durch
[mm] ||A||_{S} [/mm] := [mm] \sqrt{\lambda_{max}(A^{\*}A)}
[/mm]
wobei [mm] A^{\*} [/mm] die adjungierte Matrix con A und [mm] \lambda_{max}(A^{\*}A) [/mm] der betragsmäßig größte Eigenwert von [mm] A^{\*}A [/mm] ist. Von welcher Vektornorm wird die Spektralnorm induziert und beweisen Sie Ihre Vermutung.
c) Es sei p(A) der Spektralradius von A und [mm] ||.||_{M} [/mm] eine induzierte Matrixnorm. Beweisen Sie:
[mm] ||A||_{M} \ge [/mm] p(A)
d) Zeigen Sie außerdem
[mm] ||A||_{S} [/mm] = p(A)
falls A selbstadjungiert ist.
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Also die a) und d) habe ich so weit, ich schreib mal was ich da gemacht habe:
a)
Sei v [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
||v|| = [mm] ||v_{1}*e_{1}+...+v_{n}*e_{n}|| \le v_{1}*||e_{1}|| [/mm] + ... + [mm] v_{n}*||e_{n}||
[/mm]
wobei ich nun mit [mm] v_{i} [/mm] die i-te Komponente des Vektors v bezeichne und [mm] e_{i} [/mm] die Einheitsvektoren sind...
Sei nun OBDA [mm] v_{1} [/mm] der maximale Wert der Komponenten und außerdem ist ja [mm] ||e_{i}|| [/mm] = 1 (hoffe ich zumindest  aber müsste bei JEDER Norm eigentlich gültig sein, oder? Oder muss ich zuerst sagen wähle Orthonormalbasis, bla bla bla?)
=> [mm] \le n*v_{1} [/mm] = [mm] n*||x||_{\infty}
[/mm]
Und für klein a hab ich nun wie folgt argumentiert: Da die Norm der Abstand zum Nullpunkt ist, gilt nach Pythagoras, dass die Norm bzw. der Abstand eines Vektors mit Komponenten [mm] a_{1}...a_{n} [/mm] IMMER größer gleich ist als die Norm / Abstand der größten Komponente mit ihrem Einheitsvektor multipliziert. (Ich zerlege praktisch den Vektor v in n Vektoren und dann ist der größte Vektor ja praktisch eine Kathete und somit ist dieser sicher [mm] \le [/mm] als der gesamte Vektor...) => für a=1 ist Ungl. erfüllt.
Also wenn ich mir das bildlich vorstelle, dann klingt meine Argumentation logisch, aber ich weiß nicht ob dies stimmt und ob ich dies überhaupt so begründen kann...
So nun zu der d)
p(A) = [mm] max|\lambda_{i} [/mm] (A)| = [mm] \sqrt{max(\lambda_{i} (A))^{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{max(\lambda_{i} (A^{2})) } [/mm] = [mm] \sqrt{max(\lambda_{i} (A^{T}*A)) } [/mm] = [mm] ||A||_{S}
[/mm]
Ich denke bei der d) dürfte ich keine großen Fehler gemacht haben...
Nun zur b) und c)
Bei diesen beiden Aufgaben habe ich keine Ahnung, ich weiß von einem Freund, dass bei b) das ganze durch die 2-er-Norm induziert wurde, aber das hilft mir nicht sehr viel weiter, ich weiß nicht wie ich dies beweisen soll. Also wenn ich die 2erNorm oben in die Formel einsetze mit dem sup... dann weiß ich nicht wie ich auf den maximalen Eigenwert von [mm] A^{\*}A [/mm] komme... wobei [mm] A^{\*} [/mm] = [mm] A^{T} [/mm] ist???
Und bei der c) hab ich überhaupt keinen Ansatz
Hoffe ihr könnt mir helfen und mir auch sagen ob ich die a) und d) korrekt gelöst habe...
Vielen Dank und LG
Jana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Di 04.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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