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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Do 12.11.2009 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Für eine symmetrische, reelle, positiv definite (nxn)-Matrix T und x [mm] \in \IR^{n} [/mm] sei
[mm] ||x||_{T}:=\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j}}.
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] (\IR^{n}, [/mm] ||*||) ist ein normierter Raum.
Ist es auch ein Banachraum? |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Ich weiß, dass ich die Eigenschaften einer Norm zeigen soll:
1. ||x||=0 gdw. x=0
2. ||ax||=|a| ||x||
3. [mm] ||x+y||\ke [/mm] ||x||+||y||
Ich häng schon bei 1.. Die Rückrichtung ist klar, ich weiß aber einfach nicht wie ich die Hinrichtung zeigen soll. Alles was ich weiß ist ja, dass die [mm] T_{ii}>0 [/mm] sind und dass [mm] T_{ij}=T_{ji}
[/mm]
Ich hab die Summe dann mal geschrieben als
[mm] \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j}}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}T_{ii}x_{i}^{2}}+2\wurzel{\summe_{i,j=1, i
Führt mich der Ansatz zum Ziel? Wenn ja, wie geht es dann weiter? Falls nicht, wie soll ich dann ran an die Aufgabe?
Vielen Dank schon mal!
Gruß Michi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für eine symmetrische, reelle, positiv definite
> (nxn)-Matrix T und x [mm]\in \IR^{n}[/mm] sei
> [mm]||x||_{T}:=\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j}}.[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm](\IR^{n},[/mm] ||*||) ist ein normierter Raum.
> Ist es auch ein Banachraum?
>
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Ich weiß, dass
> ich die Eigenschaften einer Norm zeigen soll:
>
> 1. ||x||=0 gdw. x=0
> 2. ||ax||=|a| ||x||
> 3. [mm]||x+y||\ke[/mm] ||x||+||y||
>
> Ich häng schon bei 1.. Die Rückrichtung ist klar, ich
> weiß aber einfach nicht wie ich die Hinrichtung zeigen
> soll. Alles was ich weiß ist ja, dass die [mm]T_{ii}>0[/mm] sind
> und dass [mm]T_{ij}=T_{ji}[/mm]
> Ich hab die Summe dann mal geschrieben als
>
> [mm]\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j}}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}T_{ii}x_{i}^{2}}+2\wurzel{\summe_{i,j=1, i
>
> Führt mich der Ansatz zum Ziel? Wenn ja, wie geht es dann
> weiter? Falls nicht, wie soll ich dann ran an die Aufgabe?
Ich wuerde abstrakter vorgehen. Ueberlege dir erstmal, dass [mm] $\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j} [/mm] = [mm] x^T [/mm] T x$ ist.
Jetzt wendest du ein Ergebnis ueber symmetrische reelle Matrizen an: es gibt eine Orthogonale Matrix $O$ mit [mm] $O^T [/mm] T O = D$, wobei $D$ eine Diagonalmatrix mit positiven Eintraegen ist (da $T$ positiv definit ist). Nennen wir die Eintraege [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_n$.
[/mm]
Nun beachte, dass $v [mm] \mapsto [/mm] O v$ ein Automorphismus von [mm] $\IR^n$ [/mm] ist. D.h. ob deine Vektoren von der Form $v$ oder von der Form $O v$ sind, spielt keine Rolle: du kannst also die Axiome umformulieren zu
> 1. ||O x||=0 gdw. O x=0
> 2. ||O(ax)||=|a| ||O x||
> 3. [mm]||O(x+y)||\ke[/mm] ||Ox||+||Oy||
Wenn du dir jedoch $||Ox||$ anschaust, siehst du schnell dass dies gleich [mm] $\srqt{\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2}$ [/mm] ist. Und damit kannst du viel einfacher arbeiten, nicht?
(Du kannst anstelle eines orthogonalem $O$ ein invertierbares $O$ finden mit [mm] $O^T [/mm] T O = E$ (Einheitsmatrix); dann ist $||Ox||$ die normale Euklidische Norm von $x$ und das ganze ist eh sofort klar.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Do 12.11.2009 | | Autor: | MichiNes |
Hey Felix,
danke für deine Antwort! Die leuchtet mir auch größtenteils ein. Ich hab nur noch ein paar Fragen dazu:
> Ich wuerde abstrakter vorgehen. Ueberlege dir erstmal, dass
> [mm]\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j} = x^T T x[/mm] ist.
Wieso ist das wichtig? Was bedeutet es, dass das dasselbe ist?
> Jetzt wendest du ein Ergebnis ueber symmetrische reelle
> Matrizen an: es gibt eine Orthogonale Matrix [mm]O[/mm] mit [mm]O^T T O = D[/mm],
> wobei [mm]D[/mm] eine Diagonalmatrix mit positiven Eintraegen ist
> (da [mm]T[/mm] positiv definit ist). Nennen wir die Eintraege
> [mm]\lambda_1, \dots, \lambda_n[/mm].
>
> Nun beachte, dass [mm]v \mapsto O v[/mm] ein Automorphismus von
> [mm]\IR^n[/mm] ist. D.h. ob deine Vektoren von der Form [mm]v[/mm] oder von
> der Form [mm]O v[/mm] sind, spielt keine Rolle: du kannst also die
> Axiome umformulieren zu
>
> > 1. ||O x||=0 gdw. O x=0
> > 2. ||O(ax)||=|a| ||O x||
> > 3. [mm]||O(x+y)||\ke[/mm] ||Ox||+||Oy||
Meinst du hier nicht überall D statt O? Ich will ja nachher nur mit den Diagonaleinträgen arbeiten ???
> Wenn du dir jedoch [mm]||Ox||[/mm] anschaust, siehst du schnell dass
> dies gleich [mm]\srqt{\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2}[/mm] ist. Und
> damit kannst du viel einfacher arbeiten, nicht?
Stimmt 
> (Du kannst anstelle eines orthogonalem [mm]O[/mm] ein invertierbares
> [mm]O[/mm] finden mit [mm]O^T T O = E[/mm] (Einheitsmatrix); dann ist [mm]||Ox||[/mm]
> die normale Euklidische Norm von [mm]x[/mm] und das ganze ist eh
> sofort klar.)
Ist das auch ein Resultat über positiv definite Matrizen? Also dass es dann immer ein invertierbares O gibt mit [mm] O^{T}TO=E_{n}?
[/mm]
Dann würd ich natürlich eher das nehmen, da müsst ich ja dann nix beweisen, sondern könnt alles auf die Eigenschaften der Euklidischen Norm runterbrechen??
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke für deine Antwort! Die leuchtet mir auch
> größtenteils ein. Ich hab nur noch ein paar Fragen dazu:
>
>
>
> > Ich wuerde abstrakter vorgehen. Ueberlege dir erstmal, dass
> > [mm]\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j} = x^T T x[/mm] ist.
>
> Wieso ist das wichtig? Was bedeutet es, dass das dasselbe
> ist?
Nun, damit siehst du sofort was passiert, wenn du $x$ durch $O x$ ersetzt.
> > Jetzt wendest du ein Ergebnis ueber symmetrische reelle
> > Matrizen an: es gibt eine Orthogonale Matrix [mm]O[/mm] mit [mm]O^T T O = D[/mm],
> > wobei [mm]D[/mm] eine Diagonalmatrix mit positiven Eintraegen ist
> > (da [mm]T[/mm] positiv definit ist). Nennen wir die Eintraege
> > [mm]\lambda_1, \dots, \lambda_n[/mm].
> >
> > Nun beachte, dass [mm]v \mapsto O v[/mm] ein Automorphismus von
> > [mm]\IR^n[/mm] ist. D.h. ob deine Vektoren von der Form [mm]v[/mm] oder von
> > der Form [mm]O v[/mm] sind, spielt keine Rolle: du kannst also die
> > Axiome umformulieren zu
> >
> > > 1. ||O x||=0 gdw. O x=0
> > > 2. ||O(ax)||=|a| ||O x||
> > > 3. [mm]||O(x+y)||\ke[/mm] ||Ox||+||Oy||
>
> Meinst du hier nicht überall D statt O? Ich will ja
> nachher nur mit den Diagonaleinträgen arbeiten ???
Ja, ich meine hier $O$. Wenn du naemlich $x$ durch $O x$ ersetzt, wird $||O x||$ sehr einfach: aus [mm] $x^T [/mm] T x$ wird dann naemlich $(O [mm] x)^T [/mm] T (O x) = [mm] x^T (O^T [/mm] T O) x$.
> > (Du kannst anstelle eines orthogonalem [mm]O[/mm] ein invertierbares
> > [mm]O[/mm] finden mit [mm]O^T T O = E[/mm] (Einheitsmatrix); dann ist [mm]||Ox||[/mm]
> > die normale Euklidische Norm von [mm]x[/mm] und das ganze ist eh
> > sofort klar.)
>
> Ist das auch ein Resultat über positiv definite Matrizen?
> Also dass es dann immer ein invertierbares O gibt mit
> [mm]O^{T}TO=E_{n}?[/mm]
Sozusagen, ja. Normalerweise formuliert man es allgemeiner: man nimmt die Anzahl der positiven Eigenwerte, die Anzahl der negativen Eigenwerte und die Anzahl des Eigenwertes 0, und bekommt dann eine Diagonalmatrix, die entsprechend oft 1, -1 und 0 auf der Diagonalen hat.
Musst mal im Skript schauen wie das bei euch heisst (falls ihr das explizit hattet).
> Dann würd ich natürlich eher das nehmen, da müsst ich
> ja dann nix beweisen, sondern könnt alles auf die
> Eigenschaften der Euklidischen Norm runterbrechen??
Nun, ein Beweis ist das immer noch. Aber keiner mit zu konkretem Rumgerechne.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 14.11.2009 | | Autor: | MichiNes |
Hallo Felix,
ich hab noch ne Frage: Warum ist O ein Automorphismus? Es gibt doch auch orthogonale Abbildungen, die keine Automorphismen sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Sa 14.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich hab noch ne Frage: Warum ist O ein Automorphismus? Es
> gibt doch auch orthogonale Abbildungen, die keine
> Automorphismen sind?
Eine orthogonale Matrix erfuellt [mm] $O^T [/mm] O = O [mm] O^T [/mm] = E$ (Einheitsmatrix).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 So 15.11.2009 | | Autor: | MichiNes |
Ok jetzt hab ich aber immer noch Probleme, die Normaxiome nachzuweisen: Wie mach ich das zum Beispiel bei 2)
Es ist [mm] ||ax||=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}(ax_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}a^{2}x_{i}^{2}=a^{2}\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}^{2}
[/mm]
Ich muss ja aber auf |a|*||x|| kommen?!?!
Außerdem ist [mm] ||x+y||=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}(x_{i}+y_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}^{2}+2\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}y_{i}+\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}y_{i}^{2}=||x||+2\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}y_{i}+||y||
[/mm]
Das zeigt ja aber nicht das, was ich zeigen soll, nämlich [mm] \le||x||+||y|| [/mm] ?!?!
Wär super wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte 
Danke schon mal! Gruß Michi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Michi!
> Ok jetzt hab ich aber immer noch Probleme, die Normaxiome
> nachzuweisen: Wie mach ich das zum Beispiel bei 2)
>
> Es ist
> [mm]||ax||=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}(ax_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}a^{2}x_{i}^{2}=a^{2}\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}^{2}[/mm]
> Ich muss ja aber auf |a|*||x|| kommen?!?!
Dir ist da eine Wurzel verloren gegangen! Wenn du die wieder an den passenden Stellen hinzufuegst, kommt genau das raus (bedenke: $|a| = [mm] \sqrt{a^2}$).
[/mm]
> Außerdem ist
> [mm]||x+y||=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}(x_{i}+y_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}^{2}+2\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}y_{i}+\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}y_{i}^{2}=||x||+2\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}y_{i}+||y||[/mm]
> Das zeigt ja aber nicht das, was ich zeigen soll, nämlich
> [mm]\le||x||+||y||[/mm] ?!?!
Hier fehlt auch wieder die Wurzel: mit der sieht das ganz anders aus.
Du kannst das aber auch gleich auf die normale Dreiecksungleichung fuer den euklidischen Abstand zurueckfuehren, indem du bedenkst, dass [mm] $\|\pmat{x_1 \\ \vdots \\ x_n}\| [/mm] = [mm] \|\pmat{\lambda_1 x_1 \\ \vdots \\ \lambda_n x_n}\|_2$ [/mm] ist (wobei [mm] $\|\bullet\|_2$ [/mm] die euklidische Norm ist).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Mo 16.11.2009 | | Autor: | MichiNes |
Ok ist klar, aber bei der Dreiecksungleichung klappts auch nicht mit der Wurzel. Ich weiß nicht, wo ich da abschätzen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok ist klar, aber bei der Dreiecksungleichung klappts auch
> nicht mit der Wurzel. Ich weiß nicht, wo ich da
> abschätzen muss.
Du brauchst da etwas wie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Guck dir mal an wie die Dreiecksungleichung bei der normalen euklidischen Norm [mm] $\|\bullet\|_2$ [/mm] bewiesen wird.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Mo 16.11.2009 | | Autor: | MichiNes |
hmm ich kapier das nicht...kannst du mir nicht kurz auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Di 17.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich mache es Dir kurz vor:
[mm] $\Vert{a}\cdot x\Vert_2=\left(\sum_{i=1}^{n}(a\cdot x_i)^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left(a^2\cdot\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left|a\right|\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left|a\right|\cdot\Vert{x}\Vert_2$
[/mm]
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 So 22.11.2009 | | Autor: | MichiNes |
Das ist nicht die Dreiecksungleichung! Die betragsmäßige Linearität hab ich schon selbst hingekriegt. Aber hat sich erledigt, habs dann doch noch geschafft, das ganze aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu folgern.
THX an alle!!
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