Normierte Räume < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Liebe Matheraumbesucher,
ich weiß noch nicht so genau, ob ich das Thema "normierte Räume" schwer finden soll bzw. das Thema Normen an und für sich...
Aber ich kann mit folgender Aufgabe nicht sehr viel anfangen, alleine deshalb nicht, weil ich nicht weiß wie man in der ANALYSIS lineare Abbildungen behandeln soll!!!
Es seien E un F normierte Räume. Beweisen Sie, dass eine lineare Abbildung f: E -> F genau dann stetig ist, wenn es ein c >0 so gibt, dass gilt
[mm]\begin{Vmatrix}
f(x) \\
\end{Vmatrix}\le c\begin{Vmatrix}
x \\
\end{Vmatrix} [/mm] für alle [mm] x \in E[/mm]
Normaler Stetigkeitsbeweis...???
MIt Delta-Epsilon Definition...
Ich hab keine Anhnung, wie man das anstellen könnte
Ich danke schon mal, Cathrine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
> Es seien E un F normierte Räume. Beweisen Sie, dass eine
> lineare Abbildung f: E -> F genau dann stetig ist, wenn es
> ein c >0 so gibt, dass gilt
>
> [mm]\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\le c\begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}[/mm]
> für alle [mm]x \in E[/mm]
Ich fange beide Richtungen mal an:
[mm] $"`\Rightarrow"'$:
[/mm]
Es sei $f [mm] :(E,\Vert \, \cdot \, \Vert_E) \to (F,\Vert \, \cdot\, \Vert_F)$ [/mm] stetig. Wäre die Menge:
[mm]M:=\{f( \frac{x}{\Vert x \Vert_E} ) \, : \, x \in E\setminus\{0\}\}[/mm]
unbeschränkt, so gäbe es für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $x_n \in [/mm] E$ mit:
(*) [mm]\Vert f( \frac{x_n}{\Vert x_n \Vert_E}) \Vert_F >n[/mm].
Dann wäre:
(1) [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \Vert \frac{x_n}{n \cdot \Vert x_n \Vert_E}\Vert_E [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} [/mm] = 0$,
aber aus (*) folgte für alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
(2) $f ( [mm] \frac{x_n}{n \Vert x_n \Vert_E} [/mm] )>1$.
Die Aussagen (1) und (2) stellen aber einen Widerspruch zu der Voraussetzung da, das $f$ insbesondere in $0$ stetig ist.
Daher muss $M$ beschränkt sein.
Frage an dich: Warum folgt daraus jetzt die Behauptung? Versuche es mal. 
[mm] $"`\Leftarrow"'$:
[/mm]
Nach Voraussetzung gibt es ein $C>0$ mit
(**) [mm] $\Vert [/mm] f(x) [mm] \Vert_F \le [/mm] C [mm] \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_E$
[/mm]
für alle $x [mm] \in [/mm] E$.
Es seien nun $x,y [mm] \in [/mm] E$ beliebig gewählt. Aus (**) und der Linearität von $f$ folgt:
(3) [mm]\Vert f(x) - f(y) \Vert_F = \Vert f(x-y) \Vert_F \le C \cdot \Vert x-y\Vert_E[/mm].
Frage an dich: Warum folgt daraus die Stetigkeit von $f$?
Wähle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig. Dann kannst du mit Hilfe von (3) zeigen, dass es ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt mit
(4) [mm] $\Vert [/mm] x-y [mm] \Vert_E [/mm] < [mm] \delta \qquad \Rightarrow \qquad \Vert [/mm] f(x) - f(y) [mm] \Vert_F [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Dies ist die Lipschitz-Stetigkeit, woraus dann auch die Stetigkeit folgt.
Was meinst du: Wie könnte man (4) mit Hilfe von (3) zeigen?
Wie muss man [mm] $\delta>0$ [/mm] wählen, damit es hinkommt?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Do 10.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Julius,
bis gestern habe ich es leider nicht geschafft, aber heute morgen bin ich fertig geworden und hoffe jetzt ganz fest, dass ich es richtig gemacht habe. Ehrlich gesagt habe ich befürchtet ich würde keine Antwort finden, aber ich habe es versucht. Voilà:
> Liebe Cathrine!
>
> > Es seien E un F normierte Räume. Beweisen Sie, dass eine
>
> > lineare Abbildung f: E -> F genau dann stetig ist, wenn
> es
> > ein c >0 so gibt, dass gilt
> >
> > [mm]\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\le c\begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}[/mm]
>
> > für alle [mm]x \in E[/mm]
>
> Ich fange beide Richtungen mal an:
>
>
>
> [mm] $"`\Rightarrow"'$:
[/mm]
>
> Es sei $f [mm] :(E,\Vert \, \cdot \, \Vert_E) \to (F,\Vert \, [/mm]
> [mm] \cdot\, \Vert_F)$ [/mm] stetig. Wäre die Menge:
>
> [mm]M:=\{f( \frac{x}{\Vert x \Vert_E} ) \, : \, x \in E\setminus\{0\}\}[/mm]
>
>
> unbeschränkt, so gäbe es für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $x_n \in [/mm]
> E$ mit:
>
> (*) [mm]\Vert f( \frac{x_n}{\Vert x_n \Vert_E}) \Vert_F >n[/mm].
>
>
> Dann wäre:
>
> (1) [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \Vert \frac{x_n}{n \cdot
> \Vert x_n \Vert_E}\Vert_E [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} [/mm]
> [mm] \frac{1}{n} [/mm] = 0$,
>
> aber aus (*) folgte für alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
>
> (2) $f ( [mm] \frac{x_n}{n \Vert x_n \Vert_E} [/mm] )>1$.
>
> Die Aussagen (1) und (2) stellen aber einen Widerspruch zu
> der Voraussetzung da, das $f$ insbesondere in $0$ stetig
> ist.
>
> Daher muss $M$ beschränkt sein.
>
> Frage an dich: Warum folgt daraus jetzt die Behauptung?
> Versuche es mal.
>
Also: ich habe mir gedacht, dass der Widerspruch ja schon bei (*) mit dem n anfängt, weil dann die Stetigkeit nicht mehr für jedes beliebeige [mm] \epsilon [/mm] gilt, also gilt die [mm] \delta-\epsilon-Stetigkeit [/mm] nicht. Richtig???
Wenn $M$ beschränkt ist, muss gelten: $M$ < C (und C [mm] \in [/mm] N)
[mm] $\Rightarrow$[/mm] [mm]\{f( \frac{x}{\Vert x \Vert_E} ) \}[/mm] < C
und da [mm] \Vert x_n \Vert [/mm] = konstant (weiß nicht, ob das richtig ist)
folgt daraus: [mm]\bruch{1}{\begin{Vmatrix}
x_n \\
\end{Vmatrix}}_E \begin{Vmatrix}
F(x_n) \\
\end{Vmatrix}_F < C [/mm]
und umgestellt heißt das dann [mm]\begin{Vmatrix}
f(x_n) \\
\end{Vmatrix}
Richtig, oder ganz falsch???
> [mm] $"`\Leftarrow"'$:
[/mm]
>
> Nach Voraussetzung gibt es ein $C>0$ mit
>
> (**) [mm] $\Vert [/mm] f(x) [mm] \Vert_F \le [/mm] C [mm] \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_E$
[/mm]
>
> für alle $x [mm] \in [/mm] E$.
>
> Es seien nun $x,y [mm] \in [/mm] E$ beliebig gewählt. Aus (**) und der
> Linearität von $f$ folgt:
>
> (3) [mm]\Vert f(x) - f(y) \Vert_F = \Vert f(x-y) \Vert_F \le C \cdot \Vert x-y\Vert_E[/mm].
>
>
> Frage an dich: Warum folgt daraus die Stetigkeit von $f$?
Antwort von mir: Weil umgestellt [mm]\bruch{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}\le C [/mm] gilt
Und daraus folgt [mm] \Vert f(x) - f(y) \Vert \<= C\Vert (x - y)\Vert = C \delta = \epsilon [/mm]
mit [mm]\epsilon=C \delta = C\Vert (x - y)\Vert [/mm]
> Wähle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig. Dann kannst du mit Hilfe
> von (3) zeigen, dass es ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt mit
>
> (4) [mm] $\Vert [/mm] x-y [mm] \Vert_E [/mm] < [mm] \delta \qquad \Rightarrow \qquad [/mm]
> [mm] \Vert [/mm] f(x) - f(y) [mm] \Vert_F [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
>
> Dies ist die Lipschitz-Stetigkeit, woraus dann auch die
> Stetigkeit folgt.
>
> Was meinst du: Wie könnte man (4) mit Hilfe von (3)
> zeigen?
>
> Wie muss man [mm] $\delta>0$ [/mm] wählen, damit es hinkommt?
Dann wäre [mm] \delta=\bruch{\epsilon}{C}[/mm]
Bon, c'était ma solution 
Ich weiß nicht, ob das richtig ist, aber ich hoffe es natürlich!!!
Zuletzt noch eine Frage an dich: Wir habe die Lipschitz-Stetigkeit in der Vorlesung nie behandelt, kann ich dann trotzdem so argumentieren ohne den Begriff zu benutzen, oder wird dadurch das Ende nicht stichhaltig???
Liebe Grüße, Cathrine
> Liebe Grüße
> Julius
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Fr 11.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
> Also: ich habe mir gedacht, dass der Widerspruch ja schon
> bei (*) mit dem n anfängt, weil dann die Stetigkeit nicht
> mehr für jedes beliebeige [mm] \epsilon [/mm] gilt, also gilt die
> [mm] \delta-\epsilon-Stetigkeit [/mm] nicht. Richtig???
Das verstehe ich jetzt nicht, aber du machst es ja später richtig...
> Wenn $M$ beschränkt ist, muss gelten: $M$ < C (und C [mm] \in [/mm] N)
>
> [mm] $\Rightarrow$[/mm] [mm]\{f( \frac{x}{\Vert x \Vert_E} ) \}[/mm] < C
>
> und da [mm] \Vert x_n \Vert [/mm] = konstant (weiß nicht, ob das
> richtig ist)
Konstant nicht, das ist das falsche Wort. Du meinst: ein positives Skalar.
> folgt daraus: [mm]\bruch{1}{\begin{Vmatrix} x_n \end{Vmatrix}}_E \begin{Vmatrix} F(x_n) \\ \end{Vmatrix}_F < C[/mm]
>
>
> und umgestellt heißt das dann [mm]\begin{Vmatrix} f(x_n) \\ \end{Vmatrix}
>
>
> Richtig, oder ganz falsch???
![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Sehr gut!
> > [mm] $"`\Leftarrow"'$:
[/mm]
> >
> > Nach Voraussetzung gibt es ein $C>0$ mit
> >
> > (**) [mm] $\Vert [/mm] f(x) [mm] \Vert_F \le [/mm] C [mm] \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_E$
[/mm]
> >
> > für alle $x [mm] \in [/mm] E$.
> >
> > Es seien nun $x,y [mm] \in [/mm] E$ beliebig gewählt. Aus (**) und
> der
> > Linearität von $f$ folgt:
> >
> > (3) [mm]\Vert f(x) - f(y) \Vert_F = \Vert f(x-y) \Vert_F \le C \cdot \Vert x-y\Vert_E[/mm].
>
> >
> >
> > Frage an dich: Warum folgt daraus die Stetigkeit von
> $f$?
>
> Antwort von mir: Weil umgestellt [mm]\bruch{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}\le C[/mm]
> gilt
>
> Und daraus folgt [mm]\Vert f(x) - f(y) \Vert \<= C\Vert (x - y)\Vert = C \delta = \epsilon[/mm]
Hier stehen mir zu viele Gleichheitszeichen.
Ansonsten ist die Idee gut. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also: Für [mm] $\delta:= \frac{\varepsilon}{C}$ [/mm] folgt aus [mm] $\Vert [/mm] x - y [mm] \Vert_E [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] die Beziehung:
[mm]\Vert f(x) - f(y) \Vert_F = \Vert f(x-y) \Vert_F \le C \cdot \Vert x-y\Vert_E < C \cdot \delta = C \cdot \frac{\varepsilon}{C} = \varepsilon[/mm],
was zu zeigen war.
Den Begriff "Lipschitz-stetig" brauchst du gar nicht...
Liebe Grüße
Julius
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