Normierte Räume < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob durch
[mm] \|x\| [/mm] := [mm] log(e^{|x_1|}+e^{|x_2|})
[/mm]
eine Norm auf dem [mm] \IR^2 [/mm] definiert wird. |
Ich habe also folgende drei eigenschaften zu prüfen
(N1) [mm] \|f\| \ge [/mm] 0 und [mm] \|f\|=0 \gdw [/mm] f=0
(N2) [mm] \| \alpha f\| [/mm] = [mm] |\alpha| \|f\| [/mm] für jede zahl [mm] \alpha
[/mm]
(N3) [mm] \|f+g\| \ge \|f\| [/mm] + [mm] \|g\|
[/mm]
Jetzt müsste ich also zu (N1) zeigen, dass:
[mm] log(e^{|x_1|}+e^{|x_2|}) \ge [/mm] 0 ist. Dies ist offensichtlich der fall, da
[mm] e^{|x|} \ge [/mm] 1 ist für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Allerdings kann [mm] log(e^{|x_1|}+e^{|x_2|}) [/mm] = 0 garnicht erfüllt sein, denn
log (1) = 0, also müsste [mm] e^{|x_1|}+e^{|x_2|} [/mm] = 1 sein.
Da nun aber das ganze für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = 0 gelten muss
und [mm] e^{0}+e^{0} [/mm] = 2 [mm] \not= [/mm] 1 ist, kanns nicht stimmen.
Handelt es sich hier etwa nicht um eine Norm ?
Also für [mm] \|0\| [/mm] krieg ich eben 1, deswegen kann das doch garnicht funktionieren.
Ich kann mir aber kaum vorstellen, dass die Aufgabe so einfach ist.
Kann mir jemand weiterhelfen
mfg. Joker :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie, ob durch
>
> [mm]\|x\|[/mm] := [mm]log(e^{|x_1|}+e^{|x_2|})[/mm]
>
> eine Norm auf dem [mm]\IR^2[/mm] definiert wird.
> Ich habe also folgende drei eigenschaften zu prüfen
>
> (N1) [mm]\|f\| \ge[/mm] 0 und [mm]\|f\|=0 \gdw[/mm] f=0
>
> (N2) [mm]\| \alpha f\|[/mm] = [mm]|\alpha| \|f\|[/mm] für jede zahl [mm]\alpha[/mm]
>
> (N3) [mm]\|f+g\| \ge \|f\|[/mm] + [mm]\|g\|[/mm]
>
>
> Jetzt müsste ich also zu (N1) zeigen, dass:
>
> [mm]log(e^{|x_1|}+e^{|x_2|}) \ge[/mm] 0 ist. Dies ist offensichtlich
> der fall, da
>
> [mm]e^{|x|} \ge[/mm] 1 ist für alle x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Allerdings kann [mm]log(e^{|x_1|}+e^{|x_2|})[/mm] = 0 garnicht
> erfüllt sein, denn
>
> log (1) = 0, also müsste [mm]e^{|x_1|}+e^{|x_2|}[/mm] = 1 sein.
>
> Da nun aber das ganze für [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] = 0 gelten muss
>
> und [mm]e^{0}+e^{0}[/mm] = 2 [mm]\not=[/mm] 1 ist, kanns nicht stimmen.
>
>
> Handelt es sich hier etwa nicht um eine Norm ?
So ist es.
>
> Also für [mm]\|0\|[/mm] krieg ich eben 1, deswegen kann das doch
> garnicht funktionieren.
>
> Ich kann mir aber kaum vorstellen, dass die Aufgabe so
> einfach ist.
Ist sie aber
FRED
>
> Kann mir jemand weiterhelfen
> mfg. Joker :)
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
Okay, dann bedanke ich mich vielmals :
mfg. Der Joker :9
|
|
|
| |
|
Hallo,
interessant finde ich auch die anderen Eigenschaften N2 und N3.
Auf den ersten Blick scheint alles nicht so richtig zu klappen. Ich empfehle dir, dies auch noch einmal nachzuvollziehen. Rein aus Übungszwecken.
Dass der Beweis wirklich so kurz ist, ist eigentlich schon witzig...
|
|
|
|
