Normierter Raum < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Do 08.05.2008 | | Autor: | bine089 |
Servus! Ich komm grad gar nicht weiter mit dieser Aufgabe:
´Man hat zwei normierte Räume und F: V auf W ist eine lineare Abbildung. Man soll zeigen das folgendes äquivalent ist:
i) f ist stetig in 0 und ii) f ist gleichmäßig steitg ausserdem f ist beschränkt d. h. es gibt ein M [mm] \ge [/mm] 0 mit [mm] F(x)'\ge [/mm] M (x)
Räumen finde, weiss ich gar nicht weiter! Danke für eure Hilfe
Da ich nur stetigkeit definitionen von metrischen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Do 08.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bitte editier deinen post, und mach ihn wirklich lesbar.
Gruss leduart
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Auch wenn Deine Frage nicht ganz klar formuliert ist. Hier meine
Formulierung + Loesung: Äquivqlent sind für linerares F:
(1) ||F(x)|| <= M||x|| für alle x [mm] \in [/mm] V und ein festes M>0
(2) F : V -> W ist gleichmässig stetig
(3) F ist stetig im Nullpunkt
Beweis: Mittels Ringschluss:
(1) ->(2) Klar mit Definition der glm. Stetigkeit und [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] /M.
Da das [mm] \delta [/mm] von keinem Punkt x abh"angt, ist die Stetigkeit gleichmässig.
(2) ->(3) Aus der Stetigkeit folgt die Stetigkeit im Nullpunkt
insbesondere. Wegen´Linearität isdt F(0) = 0.
(3) ->(1) Per Widerspruch: Annahme (1) gilt nicht. Dann existiert
zu jedem n [mm] \in \N [/mm] ein [mm] x_n \in [/mm] V so dass [mm] ||F(x_n|| [/mm] > n [mm] ||x_n||.
[/mm]
Es folgt mit der Linearität: ||F( (1/n) [mm] (x_n/||x_n||) [/mm] )|| > 1.
Da die Folge [mm] (x_n/||x_n||) [/mm] Norm 1 hat, also beschränkt ist,
konvergiert [mm] z_n [/mm] = (1/n) [mm] (x_n/||x_n||) [/mm] gegen Null. Wegen (3)
wäre dann [mm] F(z_n) [/mm] ->0, was aber im Widerspruch zu
oben abgeleiteter Tatsache [mm] ||F(z_n)|| [/mm] > 1 steht. Also stimmt (1).
(qed)
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