Normierter Vektorraum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Abend euch allen!
Im Gesamten habe ich einige Fortschritte mit meinen Aufgaben gemacht. Es gibt aber wieder welche bei denen ich einfach gar nicht voran komme. Einerseits (wie immer), weil ich solche noch nie gerechnet habe und die Beispiele vom Prof mir nicht wirklich weiter helfen.
Nun ich komme jetzt mal zu den Aufgaben.
1.
Sei V ein normierter Vektorraum. Zeige, dass für jedes A [mm] \in {\cal L}(V), [/mm] die Abbildung [mm] D_{A}:\cal \to {\cal L}(V) [/mm] mit B [mm] \mapsto [/mm] AB - BA eine Derivation ist.
2.
Seien V ein normierter Vektorraum und D eine Derivation von [mm] {\cal L}(V). [/mm] zeige dass für alle n [mm] \in \IN, [/mm] und alle A,B [mm] \in {\cal L}(V) [/mm] gilt:
[mm] D^{n}(AB)=\summe_{k=0}^{n} {n\choose k}D^{n-k}(A)D^{k}(B).
[/mm]
Wie immer vielen Dank für Hilfe und die Mühe!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Prinzessin!
> 1.
> Sei V ein normierter Vektorraum. Zeige, dass für jedes A
> [mm]\in {\cal L}(V),[/mm] die Abbildung [mm]D_{A}:\cal \to {\cal L}(V)[/mm]
> mit B [mm]\mapsto[/mm] AB - BA eine Derivation ist.
Naja, das ist ja nun wirklich einfaches Nachrechnen:
[mm] $D_A(C)B [/mm] + [mm] CD_A(B)$
[/mm]
$=(AC-CA)B + C(AB-BA)$
$=ACB-CAB + CAB - CBA$
$=A(CB) - (CB)A$
[mm] $=D_A(CB)$.
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.
> Seien V ein normierter Vektorraum und D eine Derivation
> von [mm]{\cal L}(V).[/mm] zeige dass für alle n [mm]\in \IN,[/mm] und alle
> A,B [mm]\in {\cal L}(V)[/mm] gilt:
> [mm]D^{n}(AB)=\summe_{k=0}^{n} {n\choose k}D^{n-k}(A)D^{k}(B).[/mm]
Hier würde ich es mal mit vollständiger Induktion versuchen. Man beweist das genauso wie die Leibniz-Regel bei differenzierbaren Funktionen.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo Stefan,
danke !!!
Also wenn ich bei 2. mit der vollständigen Induktion anfange, dann muss ich ja zuerst für n=1 nachprüfen?
$ [mm] D^{n}(AB)=\summe_{k=0}^{n} {n\choose k}D^{n-k}(A)D^{k}(B). [/mm] $
n=1:
$ [mm] D^{1}(AB)=\summe_{k=0}^{1} {1\choose 0}D^{1-0}(A)D^{0}(B). [/mm] $
Beim Binomialkoeffizienten würde ich ja 0 herausbekommen wegen k=0. Und dann wird ja alles 0 ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Prinzessin,
nein ${1 [mm] \choose [/mm] 0}=1$. Schau am besten nochmal nach, wie die  Binomialkoeffizienten definiert sind. Anschaulich gibt der Binomialkoeffizient ${n [mm] \choose [/mm] k}$ an, wie viele Möglichkeiten es gibt aus $n$ Objekten $k$ auszuwählen. Es gibt nur genau eine Möglichkeit nix auszuwählen, man läßt alles drin, daher ${ [mm] 1\choose [/mm] 0}=1$.
Max
|
|
|
| |
|
Hallo Max,
danke für den Hinweis. Da ist mir ein dummer Leichtsinnsfehler passiert, vielleicht weil ich zu selten damit rechne.
Habe nicht beachtet dass 0!=1 ist.
Also nochmal:
Für n=1:
$ [mm] D^{1}(AB)=\summe_{k=0}^{1} {1\choose 0}D^{1-0}(A)D^{0}(B). [/mm] $
=D(A)(B)
Jetzt muss ich das ja für n:=(n+1) beweisen richtig?
Lasse ich das k:=0 ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Prinzessin,
ja, $k$ ist ja nur der Laufindex für die Summe, der startet weiterhin bei $k=0$, nur diesesmal geht er bis $n+1$.
Max
|
|
|
| |
|
Hallo,
also ich habe:
n=1:
$ [mm] D^{1}(AB)=\summe_{k=0}^{1} {1\choose 0}D^{1-0}(A)D^{0}(B). [/mm] $
=D(A)(B)
Induktionsschritt
n [mm] \to [/mm] n+1
$ [mm] D^{n+1}(AB)=\summe_{k=0}^{n+1} {n+1\choose 0}D^{n+1-0}(A)D^{0}(B). [/mm] $
=$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} {n+1\choose 0}D^{n}D(A)D^{0}(B). [/mm] $
=$ [mm] 2^{n+1}D^{n}D(A)D^{0}(B). [/mm] $
=$ [mm] 2^{n}*2D^{n}D(A)D^{0}(B). [/mm] $
Ist das richtig bisher ? Weil ich weiß gar nicht wie ich hier weiter machen kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Prinzessin,
du hast da etwas falsch verstanden.
Es gilt: $ [mm] D^{n}(AB)=\summe_{k=0}^{n} {n\choose k}D^{n-k}(A)D^{k}(B)$. [/mm] Die entsprechenden Gleichung für $n+1$ heißt:
$ [mm] D^{n+1}(AB)=\summe_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}D^{n+1-k}(A)D^{k}(B)$.
[/mm]
Will man jetzt die Unduktionsannahme nutzen, muss man die Summe entsprechend auflösen zu [mm] $\summe_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}D^{n+1-k}(A)D^{k}(B)=\left(\sum_{k=0}^{n}{n+1\choose k}D^{n+1-k}(A)D^{k}(B)\right)+{n+1 \choose n+1}D^{n+1-(n+1)}(A)D^{n+1}(B)$
[/mm]
Jetzt musst du noch durch geeignete Umormungen die alte Beziehung nutzbar machen.
Gruß Max
|
|
|
| |
|
Danke nochmal!!
Welche alte Beziehung meinst du?
Du bist ja jetzt auf
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}D^{n+1-k}(A)D^{k}(B)=\left(\sum_{k=0}^{n}{n+1\choose k}D^{n+1-k}(A)D^{k}(B)\right)+{n+1 \choose n+1}D^{n+1-(n+1)}(A)D^{n+1}(B) [/mm] $
gekommen.
Muss dabei k=0 setzen?
|
|
|
|
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
