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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Notation Likelihood-Funktion
Notation Likelihood-Funktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Notation Likelihood-Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Mi 25.11.2020
Autor: Dangoe

Aufgabe
[mm] $L(x;\theta)$ [/mm] vs. [mm] $L(y|x,\theta)$ [/mm] vs. [mm] $L(x|\theta)$ [/mm] vs. [mm] $L_x(\theta)$ [/mm]



Hallo!

Es geht um die Notation der Likelihood-Funktion, vor allem im Rahmen der Maximum-Likelihood-Schätzung.

Wie die MLE grundlegend abläuft, ist mir klar. Angenommen, die Stichpriobenvariable X ist binomialverteilt und ich hab folgende Stichprobe: 1,0,0,1,1,1.

$P(X=1) = [mm] \theta)$ [/mm]
$P(X=0) = [mm] 1-\theta$ [/mm]

Dann würde ich dazu ja die Dichtefunktion der Binomialverteilung verwenden und letztendlich stünde da sowas: [mm] $\theta^4*(1-\theta)^2$. [/mm] Dann noch logarithmieren, nach [mm] $\theta$ [/mm] ableiten und nullsetzen.

Was ich nicht verstehe, ist die Notation.

Laut Wikipedia wird die Dichtefunktion zur Likelihood-Funktion, indem man [mm] $\theta$ [/mm] als Variable und x als Parameter auffasst.

Dadurch erklärt sich für mich, warum man die Dichtefunktion verwendet.
Und diese Notationen ergeben für mich dann Sinn:

[mm] $L(x;\theta)$ [/mm] und [mm] $L_x(\theta)$ [/mm] Sinn.

Aber die Notation mit dem | erschließt sich mir noch nicht.

Ich kenne | als Notation der bedingten Wahrscheinlichkeit und das heißt für mich $ P(a|b) = [mm] \frac{P(a,b)}{P(b)} \) [/mm] $. Ich hab auch gelesen, dass man die Likelihood als bedingte Wahrscheinlichkeit interpretieren kann

Wie lässt sich das aber auf die Notation und Formel der Likelihood übertragen? Ganz stumpf gesagt: Wieso ist denn da kein Bruch in der Likelihood-Formel?

Wenn in der obigen Formel a und b unabhängig sind, dann kürzt sich P(b) ja raus. Ist das hier auch der Fall? Muss ich [mm] $\theta$ [/mm] und x quasi als unabhängige Ereignisse ansehen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Notation Likelihood-Funktion: Parameter und Werte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mi 25.11.2020
Autor: Infinit

Hallo Dangoe,
aus meiner Studienzeit (ist schon etwas länger her) kenne ich die Notation für die Likelihood-Funktion sogar noch mit vertauscht geschriebenen Variablen und das auch nur mit dem Semikolon als Trenner.
[mm] L(\theta; x_1 \ldots x_n) [/mm] ist dann die Likelihood-Funktion zur Schätzung des Parameters [mm] \theta [/mm] unter der Voraussetzung, dass die Werte [mm] x_1 \ldots x_n [/mm] gegeben sind. In der englischsprachigen Literatur tauchte aber auch damals  schon der vertikale Trenner auf. Damit soll allerdings nicht ausgedrückt werden, dass es um bedingte Wahrscheinlichkeiten geht, sondern der Trenner wird verstanden im Sinne von "die Daten hinter dem Trenner" sind Voraussetzung für die Bestimmung des Parameters [mm] \theta [/mm].
Irgendwann hat sich die Reihenfolge dieser Notation dann vertauscht, der Trenner ist geblieben. Jetzt werden aber, siehe Wikipedia, zuerst die Daten angegeben und dann der oder auch die Parameter, die daraus geschätzt werden sollen. Das ist meines Erachtens die ganze Erklärung, eine reine Notationsangelegenheit.
Viele Grüße,
Infinit

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