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| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] heißt eine Nullfolge, falls für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0} [/mm] ∈ N existiert, so dass für alle
n ≥ [mm] n_{0} [/mm] gilt: | [mm] (a_{n})| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] Zeigen Sie:
(i) [mm] (a_{n}) [/mm] ist komplexe Nullfolge genau dann, wenn Re [mm] (a_{n}) [/mm] und Im [mm] (a_{n}) [/mm] (reelle) Nullfolgen sind.
(iii) [mm] (a_{n}) [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] e^{i* \bruch{2*\pi}{n}}
[/mm]
ist eine Nullfolge (mit [mm] \varepsilon^{t} [/mm] := cos t + i sin t)
(iv) [mm] (b_{n}) [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] i(-1)^n [/mm] ist keine Nullfolge. |
Hallo,
hab leider große Probleme mit folgenden Aufgaben.
Bei (i) hab ich im Moment noch keine Ahnung, wie ich es zeigen könnte.
Im prinzip kann man doch [mm] a_{n}= b_{n} [/mm] + [mm] c_{n}*i [/mm] so ausdrücken. Die Aufgabenstellung sagt ja, dass Im [mm] a_{n} [/mm] eine reelle Nullfolge sein muss, aber wie zeigt man sowas????
Zu (iii)
Ich weiss leider nichts mit dem Hinweis anzufangen. Aber ich weiss ja, dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eine Nullfolge ist und dass [mm] e^{i* \bruch{2*\pi}{n}} [/mm] doch eigentlich immer eine positive reelle zahl ist, die für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen 0 geht, dann hätte ich ja nur noch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und das ist ja bekanntlich eine Nullfolge. Wahrscheinlich hab ich irgendwie grade einen Fehler, weil so geht das ja bestimmt nicht...
zu (iv)
Wenn ich eine fallunterscheidung(n gerade und ungerade), dann bekomme ich ja als grenzwert jewals i und -i, damit wäre die Aussage doch schon bewiesen, oder?
Hoffe mir kann jemand helfen.
Gruß
Nathenatiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Fr 09.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nathenatiker
> Die Folge [mm](a_{n})[/mm] heißt eine Nullfolge, falls für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]n_{0}[/mm] ∈ N existiert, so dass für
> alle
> n ≥ [mm]n_{0}[/mm] gilt: | [mm](a_{n})|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm] Zeigen
> Sie:
>
> (i) [mm](a_{n})[/mm] ist komplexe Nullfolge genau dann, wenn Re
> [mm](a_{n})[/mm] und Im [mm](a_{n})[/mm] (reelle) Nullfolgen sind.
>
> (iii) [mm](a_{n})[/mm] := [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm]e^{i* \bruch{2*\pi}{n}}[/mm]
>
> ist eine Nullfolge (mit [mm]\varepsilon^{t}[/mm] := cos t + i sin
> t)
> (iv) [mm](b_{n})[/mm] := [mm]\bruch{1}{n}[/mm] + [mm]i(-1)^n[/mm] ist keine
> Nullfolge.
> Hallo,
>
> hab leider große Probleme mit folgenden Aufgaben.
>
> Bei (i) hab ich im Moment noch keine Ahnung, wie ich es
> zeigen könnte.
Genau dann heisst 1. wenn Im(an)und Re(an) Nullfolgen dann an Nullfolge
2. wenn an NF dann auch Re(an) und Im(an) Nullfolge.
1. ist leicht! schreib den Betrag hin, nimm das Max der [mm] N_{0} [/mm] von Im und Re für [mm] \varepsilon/2 [/mm] und du bist fertig.
für 2. musst du verwenden, dass die Summe von 2 Quadraten nur 0 ist, wenn beide 0 sind, und wieder mit der def. der Nullfolge arbeiten.
für iii verwendest du [mm] |e^{i*r}=1 [/mm] rechne das aus der Formel aus!
> Im prinzip kann man doch [mm]a_{n}= b_{n}[/mm] + [mm]c_{n}*i[/mm] so
> ausdrücken. Die Aufgabenstellung sagt ja, dass Im [mm]a_{n}[/mm]
> eine reelle Nullfolge sein muss, aber wie zeigt man
> sowas????
>
> Zu (iii)
> Ich weiss leider nichts mit dem Hinweis anzufangen. Aber
> ich weiss ja, dass [mm]\bruch{1}{n}[/mm] eine Nullfolge ist und
> dass [mm]e^{i* \bruch{2*\pi}{n}}[/mm] doch eigentlich immer eine
> positive reelle zahl ist, die für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gegen 0 geht, dann hätte ich ja
> nur noch [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und das ist ja bekanntlich eine
> Nullfolge. Wahrscheinlich hab ich irgendwie grade einen
> Fehler, weil so geht das ja bestimmt nicht...
>
> zu (iv)
>
> Wenn ich eine fallunterscheidung(n gerade und ungerade),
> dann bekomme ich ja als grenzwert jewals i und -i, damit
> wäre die Aussage doch schon bewiesen, oder?
du musst nur sagen, dass [mm] (-1)^{n} [/mm] keine Nullfolge ist und Teil 1 verwenden.
Gruss leduart
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Hallo,
erstmal danke für die Antwort,
(iv) hab ich jetzt hinbekommen, aber mit (i) hab ich noch meine probleme.
> für 2. musst du verwenden, dass die Summe von 2 Quadraten
> nur 0 ist, wenn beide 0 sind, und wieder mit der def. der
> Nullfolge arbeiten.
leider kann ich mit diesem Tipp irgendwie nichts anfangen. Könnte mir jemand erklären wie ich dass auf die Aufgabe anwenden kann?
> für iii verwendest du [mm]|e^{i*r}=1[/mm] rechne das aus der Formel
> aus!
leider konnte ich damit auch nichts anfangen, hab aber einen anderen Weg gefunden. Wenns mir aber jemand erklären möchte, wäre ich trotzdem dankbar.
MFG
Nathenatiker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Di 13.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Moin nathenatiker!
Für die komplexe Folge [mm] $\left$ [/mm] gilt ja: [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] x_n+i*y_n$ [/mm] .
Nun gilt also für den Betrag (den wir für die Definition/Anwendung als Nullfolge benötigen):
[mm] $\left| \ a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ x_n+i*y_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x_n^2+y_n^2 \ }$
[/mm]
Und dieser Ausdruck kann sich nur genau dann beliebig nahe der Null annähern, wenn das beide Summanden [mm] $x_n^2$ [/mm] und [mm] $y_n^2$ [/mm] ebenfalls tun.
Ergo ...?
Gruß
Loddar
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