Nullfolgenbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 So 20.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Beweise:
1. [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\pm \infty \Rightarrow \frac{1}{a_{n}}=0$
[/mm]
2. [mm] $\limes_{n\rightarrow \infty} a_{n}=0 \Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{|a_{n}|}=\infty$ [/mm] Was muss zusätzlich vorausgesetzt werden, damit gilt: [mm] $\frac{1}{a_{n}}=+\infty$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{1}{a_{n}}=-\infty$ [/mm] |
Hallo,
1. [mm] $x:=a_{n}\in \IN$ $\limes_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] \ n>N: [mm] |\frac{1}{x}|<\epsilon$
[/mm]
2. Wie soll man das zeigen, zu zeigen wäre ja [mm] $\frac{1}{0}= \infty$ [/mm] Aber ist das nicht so definiert???
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hi,
> Beweise:
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> 1. [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\pm \infty \Rightarrow \frac{1}{a_{n}}=0[/mm]
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> 2. [mm]\limes_{n\rightarrow \infty} a_{n}=0 \Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{|a_{n}|}=\infty[/mm]
> Was muss zusätzlich vorausgesetzt werden, damit gilt:
> [mm]\frac{1}{a_{n}}=+\infty[/mm] bzw. [mm]\frac{1}{a_{n}}=-\infty[/mm]
> Hallo,
>
>
> 1. [mm]x:=a_{n}\in \IN[/mm] [mm]\limes_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0[/mm]
>
> [mm]\forall \ n>N: |\frac{1}{x}|<\epsilon[/mm]
Mir ist nicht ganz klar, was du hiermit meinst.
Betrachte o. E. den Fall [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=\infty. [/mm] Das bedeutet, zu jedem [mm] c\in\IN [/mm] existiert ein [mm] n_c\in\IN [/mm] mit [mm] a_n\geq [/mm] c für alle [mm] n\geq n_c.
[/mm]
Daraus folgt für jedes [mm] \varepsilon=\frac{1}{c} [/mm] ... für [mm] n\geq n_c
[/mm]
>
> 2. Wie soll man das zeigen, zu zeigen wäre ja [mm]\frac{1}{0}= \infty[/mm]
> Aber ist das nicht so definiert???
Der Beweis dafür verwendet obigen Ansatz, nur sozusagen in der Rückrichtung.
[mm] lim_{n\to\infty}a_n=0, [/mm] also für alle [mm] \varepsilon=\frac{1}{c}>0 [/mm] gibt es ein [mm] n_\varepsilon [/mm] mit [mm] |a_n|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\geq n_\varepsilon. [/mm]
Dann gilt auch für alle [mm] n\geq\varepsilon [/mm] (Umstellen!): [mm] \frac{1}{|a_n|}>\frac{1}{\varepsilon}=c. [/mm] Also divergiert [mm] \frac{1}{|a_n|}.
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mo 21.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
wie kommst du denn auf [mm] $\epsilon=\frac{1}{c}$?
[/mm]
Danke für deine Hilfe.
Gruss
kushkush
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Hi kushkush,
> Hallo kamaleonti,
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> wie kommst du denn auf [mm]\epsilon=\frac{1}{c}[/mm]?
Da c eine positiv reelle Zahl ist, darf [mm] \varepsilon [/mm] so umgeschrieben werden. Wenn c groß wird, wird [mm] \varepsilon [/mm] (beliebig) klein und gerade das braucht man ja für Konvergenz.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Fr 25.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
[mm] $\forall [/mm] \ [mm] \epsilon=\frac{1}{c}<0 [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ [mm] n_{\epsilon}: [/mm] \ [mm] |a_{n}|>\epsilon [/mm] \ [mm] \forall n\ge n_{\epsilon} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \forall [/mm] \ [mm] n\le \epsilon: [/mm] \ [mm] \frac{1}{|a_{n}|}<\frac{1}{\epsilon}=c$
[/mm]
Stimmt das so?
Dankeschön
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo kamaleonti,
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> [mm]\forall \ \epsilon=\frac{1}{c}<0 \ \exists \ n_{\epsilon}: \ |a_{n}|>\epsilon \ \forall n\ge n_{\epsilon}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> [mm]\Rightarrow \forall \ n\le \epsilon: \ \frac{1}{|a_{n}|}<\frac{1}{\epsilon}=c[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
Nein, [mm]a_n[/mm] ist Nullfolge bedeutet: [mm]\forall\varepsilon>0 \ \exists n(\varepsilon)\in\IN \ \forall n\ge n(\varepsilon) \ : \ |a_n|<\varepsilon[/mm]
Das gilt für alle [mm]\varepsilon>0[/mm], insbesondere für [mm]\varepsilon=\frac{1}{c}[/mm] für bel. [mm]c>0[/mm]
Dann hast du also für [mm]n\ge n(\varepsilon) \ : \ |a_n|<\varepsilon=\frac{1}{c}[/mm]
Kehrbruch: [mm]\frac{1}{|a_n|}>c[/mm]
Da [mm]c>0[/mm] bel. gewählt war, überschreitet also [mm]\frac{1}{|a_n|}[/mm] jede positive Schranke, ist also unbeschränkt und divergiert folglich gegen [mm]\infty[/mm]
> Dankeschön
>
>
>
> Gruss
>
> kushkush
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Fr 25.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
Danke.
Gruss
kushkush
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