Nullmengen zeigen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen bezüglich des Lebesque - Maßes im [mm] \mathbb R^3 [/mm] beziehungsweise [mm] \mathbb R^3 [/mm] Nullmengen sind.
(i) [mm] \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \ \ \| \ \ x = y = z \} \\ [/mm]
(ii) Der Graph einer stetigen Abbildung [mm] f : \mathbb R \to \mathbb R [/mm] d.h. die Menge
[mm] \{ (x, f(x) ) \ \ \| \ \ x \in \mathbb R \} [/mm]
betrachtet als Teilmenge von [mm] \mathbb R^2 [/mm].
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Hallo alle zusammen!
Ich habe leider wieder ein Problem bei der Maßtheorie und wie man sowas zeigen kann :-(.
Das einzige , was mir einfällt ist, dass die Hyperebenen das Lebesque - Maß 0 haben. Also würde ich versuchen zu zeigen, dass diese beiden Mengen Hyperebenen bezüglich des [mm] \mathbb R^3 [/mm] oder [mm] \mathbb R^2 [/mm] darstellen um so zum Ergebnis zu kommen. Leider bin ich total ratlos, wie ich sowas zeigen kann, und ob das überhaupt der richtige Weg ist ???
Bitte um einen Tipp, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll..
Danke im Vorraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mi 07.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Irmchen,
> Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen bezüglich des
> Lebesque - Maßes im [mm]\mathbb R^3[/mm] beziehungsweise [mm]\mathbb R^3[/mm]
> Nullmengen sind.
>
> (i) [mm]\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \ \ \| \ \ x = y = z \} \\[/mm]
>
> (ii) Der Graph einer stetigen Abbildung [mm]f : \mathbb R \to \mathbb R[/mm]
> d.h. die Menge
>
> [mm]\{ (x, f(x) ) \ \ \| \ \ x \in \mathbb R \}[/mm]
>
> betrachtet als Teilmenge von [mm]\mathbb R^2 [/mm].
Mache dir als erstes klar, daß man das Lebesgue-Maß anschaulich auch als Fläche (im [mm] $\IR^2$) [/mm] oder Volumen (im [mm] $\IR^3$) [/mm] deuten kann. Dann sind die Aussagen sofort klar.
> Das einzige , was mir einfällt ist, dass die Hyperebenen
> das Lebesque - Maß 0 haben. Also würde ich versuchen zu
> zeigen, dass diese beiden Mengen Hyperebenen bezüglich des
> [mm]\mathbb R^3[/mm] oder [mm]\mathbb R^2[/mm] darstellen um so zum Ergebnis
> zu kommen. Leider bin ich total ratlos, wie ich sowas
> zeigen kann, und ob das überhaupt der richtige Weg ist ???
Die erste Menge ist Teilmenge einer Hyperebene, und Teilmengen von Nullmengen sind wieder Nullmengen.
Suche also eine Hyperebene, die (i) enthält.
(ii) Hier würde ich im Zweifel die Definition des L-Maßes verwenden.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Will !
Danke schonmal für die schnelle Antwort!!!
Mache dir als erstes klar, daß man das Lebesgue-Maß
> anschaulich auch als Fläche (im [mm]\IR^2[/mm]) oder Volumen (im
> [mm]\IR^3[/mm]) deuten kann. Dann sind die Aussagen sofort klar.
Also ich habe mir eine Skizze davon gemacht und gesehen, dass es sich bei (i) um eine Gerade im [mm] \mathbb R^3 [/mm] und bei (ii) um eine Gerade im [mm] \mathbb R^2 [/mm] handelt. Ist das so richtig?
> Die erste Menge ist Teilmenge einer Hyperebene, und
> Teilmengen von Nullmengen sind wieder Nullmengen.
> Suche also eine Hyperebene, die (i) enthält.
Also: ich habe jetzt die Definition der Hyperebene etwas auf die Aufgabe angepasst und versuche es mal:
H ist eine affine Hyperebene von [mm] \mathbb R^3 [/mm], wenn es einen 2 - dimensionalen linearen Teilraum V von [mm] \mathbb R^3 [/mm] und a [mm] \in \mathbb R^3 [/mm] gibt , mit H = a + V [mm] = \{ a + v \ \| \ v \in V \} [/mm]
So, und wenn ich jetzt das folgendermaßen wähle:
[mm] \{ a + v \ \| \ v \in \mathbb R^3 mit z = 0 , a = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} mit x = y = z \} [/mm]
Ist dann meine Menge (i) in dieser Hyperebene???
Denn wenn ja, dann habe ich gezeigt, dann es sich um eine Nullmenge handelt...
> (ii) Hier würde ich im Zweifel die Definition des L-Maßes
> verwenden.
Diesen Tipp kann ich leider nicht umsetzten :-(. Kannst du mir nochmal genauer schreiben, was Du damit meinst...
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 08.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Irmchen,
> Also ich habe mir eine Skizze davon gemacht und gesehen,
> dass es sich bei (i) um eine Gerade im [mm]\mathbb R^3[/mm]
richtig.
> und bei (ii) um eine Gerade im [mm]\mathbb R^2[/mm] handelt.
wie kommst du auf die Idee?
In der Aufgabe steht: der Graph einer stetigen reellen Funktion.
Das muß natürlich nicht notwendig eine Gerade sein.
> > Die erste Menge ist Teilmenge einer Hyperebene, und
> > Teilmengen von Nullmengen sind wieder Nullmengen.
> > Suche also eine Hyperebene, die (i) enthält.
>
> Also: ich habe jetzt die Definition der Hyperebene etwas
> auf die Aufgabe angepasst und versuche es mal:
>
> H ist eine affine Hyperebene von [mm]\mathbb R^3 [/mm], wenn es
> einen 2 - dimensionalen linearen Teilraum V von [mm]\mathbb R^3[/mm]
> und a [mm]\in \mathbb R^3[/mm] gibt , mit H = a + V [mm]= \{ a + v \ \| \ v \in V \}[/mm]
hmm... das ist zwar im Prinzip richtig, aber warum so kompliziert?
$H := [mm] \{(x, y, z) \in \IR^3 \mid ax + by + cz = 0 \}$ [/mm] ist eine Hyperebene im [mm] $\IR^3$ [/mm] für alle $a, b, c [mm] \in \IR.$
[/mm]
überlege jetzt bitte noch einmal,
wie du auf einfache Weise die Hyperebene angeben kannst,
in der die Menge aus (a) liegt.
> > (ii) Hier würde ich im Zweifel die Definition des L-Maßes
> > verwenden.
Eine Teilmenge N des [mm] $\IR^n$ [/mm] heißt Nullmenge (bzgl. des Lebesgue-Maßes), wenn es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ eine höchstens abzählbare Menge von Quadern gibt, die N überdecken und deren Gesamtmaß kleiner als [mm] $\epsilon$ [/mm] wird.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Do 08.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Will,
Natürlich muss das keine Gerade sein, hatte mich verguckt, sorry  .
> [mm]H := \{(x, y, z) \in \IR^3 \mid ax + by + cz = 0 \}[/mm] ist
> eine Hyperebene im [mm]\IR^3[/mm] für alle [mm]a, b, c \in \IR.[/mm]
Ich habe ein wenig das Probelem, dass ich nicht wirklich sehe, dass das eine Hyperebene ist. Warum ist das so???
> überlege jetzt bitte noch einmal,
> wie du auf einfache Weise die Hyperebene angeben kannst,
> in der die Menge aus (a) liegt.
Also, wenn ich jetzt [mm] H := \{(x, y, z) \in \IR^3 \mid ax + by + cz = 0, \ mit a = b = c \}[/mm] nehme, ist das dann richtig?
Gruß
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 08.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Irmchen,
> > [mm]H := \{(x, y, z) \in \IR^3 \mid ax + by + cz = 0 \}[/mm] ist
> > eine Hyperebene im [mm]\IR^3[/mm] für alle [mm]a, b, c \in \IR.[/mm]
>
> Ich habe ein wenig das Probelem, dass ich nicht wirklich
> sehe, dass das eine Hyperebene ist. Warum ist das so???
Das ist Lineare Algebra 1, a, b, c dürfen dabei natürlich nicht alle gleich Null sein.
Mach dir vielleicht einfach ein Beispiel mit konkreten Werten für a,b,c
und suche nach den 2 Vektoren, die diesen Unterraum erzeugen.
> Also, wenn ich jetzt [mm]H := \{(x, y, z) \in \IR^3 \mid ax + by + cz = 0, \ mit a = b = c \}[/mm]
> nehme, ist das dann richtig?
du mußt schon konkrete Zahlen für a,b,c nennen.
Gruß
Will
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