Nullraum < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Sa 27.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:
x +2y -z +2a =1
3x +2y + 5z =1
4x +2y +3a =4
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.
b) Geben Sie den zugehörigen Nullraum an! Welche Dimension hat der Nullraum?
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Moin,
zu a)
[mm] \pmat{ 1& 2 & -1& 2 : 1\\ 0 & 2 & -4& 3 :1 \\ 0& 0& -8&8 :3}
[/mm]
L={ [mm] ((-\bruch{1}{2}t +\bruch{9}{8}) [/mm] | [mm] (-\bruch{1}{2}t -\bruch{1}{4}) [/mm] | [mm] (\bruch{1}{2}t -\bruch{3}{8}) [/mm] | t) mit t [mm] \in [/mm] R}
Aber was um Himmels Willen ist der Nullraum??? Und wie kann ich diesen berechnen?
danke und gruß
wolfgang
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Hallo du! Also du weißt sicher, dass eine mxn Matrix (grob gesagt) eine lineare Abbildung vom [mm] R^n [/mm] in den [mm] R^m [/mm] (oder allgemeiner vom [mm] K^n [/mm] in den [mm] K^m) [/mm] definiert. Also: f: [mm] K^n \to K^m [/mm] mit x [mm] \mapsto [/mm] A*x, f ist linear. Im Falle eines Homogenen Gleichungssystems A*x=0, liegen also genau jene Vektoren in deinem Lösungsraum, die auf 0 abgebildet werden. Und wie nennt man diesen Raum, (der übrigens ein Teilraum des [mm] R^n [/mm] ist)? Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Sa 27.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
Moin du!
nun weiss aber immer noch nicht so recht was ich konkret tun soll.
ich habe ja auch keine homogene matrix sondern eine inhomogene (soll durch die : angedeutet sein).
müßte ich vielleicht berechnen: A*x=0 d.h. die Matrix als homogen betrachten?
was ist zu tun???
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Sa 27.01.2007 | | Autor: | setine |
Ja genau, du lässt den inhomogenen Teil einfach weg (nach : in deiner Matrix) bzw ist dies jetzt =0.
--> A*x=0 lösen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Sa 27.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
Hallo,
also ich habe gerechnet:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1& 2\\ 3 & 2 & 5& 0\\ 4& 2& 0& 3} [/mm] =0
und erhalte
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1& 2\\ 0 & 2 & -4& 3\\ 0& 0& -8& 14} [/mm] =0
-8x3 +14x4 = 0
wähle x4=t => x3= [mm] \bruch{7}{4}t [/mm] ; x2=2t; x1= [mm] \bruch{-13}{4}t
[/mm]
und das ist dann der nullraum?? oder ist der nullraum einfach das zugehörige homogene gleichungssystem??
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 27.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also ich kenne den Begriff "Nullraum" auch nicht. Normalerweise heisst dieser Raum, der "Kern" der Matrix. In ihm liegen all die Vektoren, die das zugehörige homogene Gleichungssystem lösen und diesen Raum also aufspannen.
Deine Lösungen spannen also diesen Raum auf und liegen somit in ihm.
Gruß,
clwoe
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> Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:
>
> x +2y -z +2a =1
>
> 3x +2y + 5z =1
>
> 4x +2y +3a =4
>
> a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen
> Gleichungssystems.
> zu a)
>
> [mm]\pmat{ 1& 2 & -1& 2 : 1\\ 0 & 2 & -4& 3 :1 \\ 0& 0& -8&8 :3}[/mm]
>
> [mm] L={(-\bruch{1}{2}t +\bruch{9}{8}) | (-\bruch{1}{2}t -\bruch{1}{4})
> | (\bruch{1}{2}t -\bruch{3}{8}) | t) mit t \in R}
[/mm]
>
Hallo,
ich kann nicht nachvollziehen, was Du gerechnet hast. Wo sind denn die a geblieben?
Zu lösen wäre doch
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 0 }\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{1-2a \\ 1 \\ 4-3a}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 So 28.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
Hallo Angela,
versteh zwar deine Frage, es stimmt ich habe die "a" vergessen, diese stehen für den Paramter des vierten Vektors; aber leider deinen Ansatz nicht.
ich meinte:
[mm] \pmat{ 1 & 2 &-1 &2\\ 0 & 2& -4& 3\\ 0&0&-8&14 }
[/mm]
und daraus x4=s (frei gewählt)
-8x3 + 14s=0
x3= [mm] \bruch{7}{4}s
[/mm]
2x2 -4x3 +3x4=0
2x2-7s +3s =0
x2=2s
x1 +2x2 -x3 +2x4=0
x1=-4s+ [mm] \bruch{7}{4}s [/mm] -2s
x1= [mm] -\bruch{17}{4}s
[/mm]
dann wäre das also mein nullraum??
danke & gruß
wolfgang
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> versteh zwar deine Frage, es stimmt ich habe die "a"
> vergessen, diese stehen für den Paramter des vierten
> Vektors; aber leider deinen Ansatz nicht.
> [...]
> dann wäre das also mein nullraum??
Hallo,
aus meiner Sicht würde ich diese "Nullraum"- Geschichte esrt noch zurückstellen wollen, so lange bis die Aufgabe richtig geklärt ist.
Ich verstehe sie anders als Du, mit der genauen Aufgabenstellung mit allem drum und dran könnte man der Sache vermutlich auf die Spur kommen.
Bist Du Dir ganz sicher, daß Du [mm] \{\vektor{x \\ y \\z \\ a}\in \IR^4 | \vektor{x \\ y \\z \\ a} --loest.das.GS \} [/mm] suchen sollst?
Ich lese das nämlich anders und zwar so:
sei a [mm] \in \IR.
[/mm]
Gesucht ist [mm] L_a:=\{\vektor{x \\ y \\z }\in \IR^3 | \vektor{x \\ y \\z } --loest.das. GS \}
[/mm]
Wie gesagt, Aufschluß gibt die genaue Aufgabenstellung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 So 28.01.2007 | | Autor: | setine |
Ich schliesse mich Angela an.
Die Variabelnamen deuten ausserdem auch darauf hin.
Gruss, Setine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Mo 29.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin moin,
nein, nochmal: a steht nicht für eine reelle zahl, sondern eine variable. bzw.
ich habe ein vierspaltiges gleichungssystem mit drei gleichungen. alles klar?!
gruß
wolfgang
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> ich meinte:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 &-1 &2\\ 0 & 2& -4& 3\\ 0&0&-8&14 }[/mm]
>
> und daraus x4=s (frei gewählt)
>
> -8x3 + 14s=0
>
> x3= [mm]\bruch{7}{4}s[/mm]
>
> 2x2 -4x3 +3x4=0
>
> 2x2-7s +3s =0
>
> x2=2s
>
> x1 +2x2 -x3 +2x4=0
>
> x1=-4s+ [mm]\bruch{7}{4}s[/mm] -2s
>
> x1= [mm]-\bruch{17}{4}s[/mm]
>
>
> dann wäre das also mein nullraum??
Hallo,
wenn a, wie Du sagst, wirklich eine Variable ist und nicht "beliebig, aber fest",
und wenn Deine Rechnungen als solche stimmen,
hast Du hier als Lösungsraum des homgenen GS ("Nullraum" hab' ich auch noch nie gehört dafür...)
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3 \\ x_4}=\vektor{-\bruch{17}{4}s \\ 2s \\ \bruch{7}{4}s \\ s}=s\vektor{-\bruch{17}{4}\\ 2 \\ \bruch{7}{4} \\ 1},
[/mm]
[mm] (=t\vektor{-17\\ 8 \\7 \\ 4}).
[/mm]
Man könnte schreiben [mm] <\vektor{-17 \\ 8 \\7 \\ 4}>, [/mm] dies soll den von [mm] \vektor{-17 \\ 8 \\7 \\ 4} [/mm] aufgespannten Raum bedeuten, keine Ahnung, wie Ihr das schreibt.
Nun habe ich eben mal in Dein Ausgangssystem eingesetzt, da Du die Lösungsmenge des homogenen GS bestimmt hast, müßte ja überall 0 herauskommen, was leider nicht der Fall ist.
Es scheint mir aber lediglich ein Rechenfehler dahinterzustecken, nichts, was mit dem Verständnis zu tun hat. Ich meine, daß Du beim Umformen der Matrix im letzten Schritt einen Vorzeichenfehler gemacht hast, habe das aber nicht weiter analysiert. Einfach nochmal rechnen.
Zur Probe sage ich Dir die Basis "meines" Lösungsraumes für das homogene lineare GS:
[mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 29.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
hallo angela, moin, moin zusammen !
ich habe noch mal nachgerechnet und komme jetzt auch auf dein ergebnis.
d.h. das ist also jetzt mein nullraum?
> [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 2}.[/mm]
danke & gruß
wolfgang
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> d.h. das ist also jetzt mein nullraum?
>
> > [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 2}.[/mm]
Nein.
Das ist ja nur ein einziger Vektor, von Raum keine Spur...
Aber er spannt den gesuchten Raum auf.
Der Lösungsraum dies homogenen GS ist also, wie ich im vorhergehenden Post schon anhand Deines alten Ergebnisses schilderte,
[mm] <\vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 2}>, [/mm] (für die Schreibweise gibt es verschiedene Sitten und Gebräuche.)
Gruß v. Angela
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