Nullraum und Dimension < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mo 10.11.2008 | | Autor: | mcmiri |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rang der Koeefizientenmatrix, den Nullraum, seine Dimension und die Lösungsmenge.
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 2 : 6\\ 0 & 1 &1 & -2 & 0 :1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 : 0} [/mm] |
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Hallo!
Ich hab nur eine kleine Frage:
Ist die Anzahl der Vektoren die den Nullraum aufspannen immer gleich der Dimension des Nullraumes? oder gleich des Rangs?
Vielen Dank, Miri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mo 10.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ist die Anzahl der Vektoren die den Nullraum aufspannen
> immer gleich der Dimension des Nullraumes? oder gleich des
> Rangs?
Weder noch. Die Dimension ist die kleinste Anzahl von Vektoren, die den Nullraum aufspannen bzw. $m - rang$, falls $m$ die Anzahl der Spalten der Matrix ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 10.11.2008 | | Autor: | mcmiri |
danke erstmal ;)
... also in dem genannten beispiel kann es dann 3 solcher nullraum-vektoren geben?
die matrix im beispiel war eigentlich eine 6X5 Matrix gewesen, die nullzeilen habe ich hier nur weggelassen...
danke schonmal
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> danke erstmal ;)
>
> ... also in dem genannten beispiel kann es dann 3 solcher
> nullraum-vektoren geben?
Hallo,
Du suchst jetzt eine Basis des Kerns (Nullraums) der Koeffizientenmatrix, also der Matrix, die zum homogenen Gleichungssystem gehört?
Solch eine Basis besteht in Deinem Beispiel aus zwei Vektoren des [mm] \IR^5, [/mm] der Nullraum hat hier also die Dimension 2.
Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 3, also wird das Bild von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt. Wenn die matrix eigentlich eine 6x5_Matrix ist, sind die Bildvektoren natürlich aus dem [mm] \IR^6.
[/mm]
Gruß v. Angela
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