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| Aufgabe | Beweise oder widerlege:
Sei $R$ ein kommutativer Ring und $f [mm] \in [/mm] R[x]$. Ein $a [mm] \in [/mm] R$ ist genau dann eine Nullstelle von $f$, wenn $(x-a) | f$ in $R[x]$ gilt. |
moin,
Diese Aussage stört mich grad ein wenig.
Wenn $f = (x-a)*g$ für ein $g [mm] \in [/mm] R[x]$, so ist sicher $f(a) = 0$.
Anders herum gilt die Aussage ja zumindest, wenn $R$ ein Körper ist; hier benutzt man allerdings im Beweis, dass dann $R[x]$ ein Euklidischer Ring ist.
Da mir bisher noch kein Beweis für diese Aussage begegnet ist, habe ich versucht sie zu widerlegen.
So habe ich etwa das Polynom [mm] $x^2-1 \in \IZ_8[x]$ [/mm] versucht, das ja bekanntermaßen 4 verschiedene Nullstellen hat.
Aber modulo 8 ist leider [mm] $x^2-1 [/mm] = (x-1)(x+1) = (x-3)(x+3)$, womit das Polynom zwar keine eindeutige Faktorisierung besitzt, aber doch jedes $x-a$ mit $a$ Nullstelle von [mm] $x^2-1$ [/mm] ein Teiler ist.
Also habe ich versucht, die Aussage zu zeigen:
Ist $R$ zuerst ein faktorieller Integritätsbereich, so können wir das Problem im Quotientenkörper betrachten. Dort finden wir (wenn wir eine Nullstelle $a$ haben) eine Faktorisierung. Solange $f$ normiert ist, liefert uns das Lemma von Gauß, dass dies bereits eine Faktorisierung in $R[x]$ ist.
Weiter komme ich hier aber leider auch nicht.
Daher vermute ich, dass ich einfach nur gerade den Wald vor lauter Gegenbeispielen nicht sehe.
Also hat jemand zufällig ein Gegenbeispiel rumliegen?
Oder stimmt die Aussage doch?
lg
Schadow
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mo 18.02.2013 | | Autor: | hippias |
Die Aussage stimmt. Tip: Division mit Rest.
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hey hippias,
Ja, klar geht das, so lange der Polynomring $R[x]$ ein Eukldischer Ring ist (denn das sind genau die Ringe, in denen Div. mit Rest möglich bzw. definiert ist).
Das ist aber soweit ich weiß nur dann der Fall, wenn $R$ ein Körper ist.
Da es ja durchaus Ringe gibt, die keine Euklidischen Ringe sind - ich kenne bisher nur [mm] $\IZ$ [/mm] und zwei Klassen von Eukldischen Ringen^^; und nur weil $R$ Euklidisch ist muss ja $R[x]$ noch lang nicht Eukldisch sein - wüsste ich nicht, wie man Division mit Rest in einem allgemeinen kommutativen Ring sinnvoll anwenden sollte, um Aussagen zu erhalten oder womit man begründen sollte, dass diese Div. immer widerspruchsfrei aufgeht.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 Di 19.02.2013 | | Autor: | hippias |
Die Division mir Rest ist stets dann durchfuehrbar, wenn der Koeffizient zur hoechsten Potenz des Divisors in $R$ invertiebar ist; Du beweist dies mittels Induktion nach dem Grad des Dividenden. Da dieser Koeffizient hier $=1$ ist, ist die Division mit Rest durchfuehrbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Mo 18.02.2013 | | Autor: | davux |
Hallo Schadow,
ich möchte meinen, wir hatten den Satz bei uns in der Vorlesung zu Grundlagen der Algebra. Der Dozent hat so seinen eigenen Stil, was die Reihenfolge der Themen angeht, während es in der Literatur oft in einer anderen Reihenfolge zu finden ist, was auch dazuführt, dass eben solche Sätze garnicht auftauchen.
Im Augenblick könnte ich dir nur die drei Bücher nennen, die er als Literatur für uns angab. Das wären Van der Waerden, Lang und Schulze-Pillot. Ich schau aber gerne selbst nochmal nach, ob der Satz überhaupt im Skript auftaucht.
Gruß
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