Nullstelle(n) eines Polynoms < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
Ich habe hier folgende Aufgabe und einige Fragen dazu:
| Aufgabe | | Es sei [mm]P(x)\in\mathbb{R}[x][/mm] ein Polynom ungeraden Grades. Man zeige, daß [mm]P(x)\![/mm] wenigstens eine reelle Nullstelle hat. |
1.) Was bedeutet die Notation [mm]\mathbb{R}[x][/mm]?
2.) Ich habe dazu folgende Musterlösungsskizze:
[mm]P(x)\![/mm] ist stetig. [mm]\Rightarrow \left(\lim_{x\to\infty}{P(x)}\right)\left(\lim_{x\to-\infty}{P(x)}\right)<0[/mm]
Also gilt nach Zwischenwertsatz: [mm]\exists z\in\mathbb{R}:P(z)=0.[/mm]
Aber der Zwischenwertsatz lautet doch in Kürze: [mm]P(x)\![/mm] auf [mm]\left[a,b\right][/mm] (und nicht etwa auf [mm]\mathbb{R}[x][/mm]!) stetig und [mm]P(a)P(b)<0\![/mm] (D.h. es werden konkrete Zahlen [mm]a\![/mm] und [mm]b\![/mm] und keine Grenzwerte wie oben betrachtet). Und daraus folgt dann die Existenz von [mm]z\in\left]a,b\right[[/mm] (und nicht auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm]!) mit [mm]P(z)=0\![/mm]. Ich hoffe jemand kann mir den obigen Beweis erläutern!
Danke!
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Do 17.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo Zusammen,
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> Ich habe hier folgende Aufgabe und einige Fragen dazu:
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> Es sei [mm]P(x)\in\mathbb{R}[x][/mm] ein Polynom ungeraden Grades.
> Man zeige, daß [mm]P(x)\![/mm] wenigstens eine reelle Nullstelle
> hat.
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> 1.) Was bedeutet die Notation [mm]\mathbb{R}[x][/mm]?
In diese Falle ist mit [mm] \IR[x] [/mm] der Polynomring mit Koeffizienten aus [mm] \IR [/mm] und der Unbekannten x gemeint - oder kurz gesagt: Die ganz normalen, reellen Polynome.
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> 2.) Ich habe dazu folgende Musterlösungsskizze:
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> [mm]P(x)\![/mm] ist stetig. [mm]\Rightarrow \left(\lim_{x\to\infty}{P(x)}\right)\left(\lim_{x\to-\infty}{P(x)}\right)<0[/mm]
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> Also gilt nach Zwischenwertsatz: [mm]\exists z\in\mathbb{R}:P(z)=0.[/mm]
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> Aber der Zwischenwertsatz lautet doch in Kürze: [mm]P(x)\![/mm] auf
> [mm]\left[a,b\right][/mm] (und nicht etwa auf [mm]\mathbb{R}[x][/mm]!) stetig
> und [mm]P(a)P(b)<0\![/mm] (D.h. es werden konkrete Zahlen [mm]a\![/mm] und
> [mm]b\![/mm] und keine Grenzwerte wie oben betrachtet). Und daraus
> folgt dann die Existenz von [mm]z\in\left]a,b\right[[/mm] (und nicht
> auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm]!) mit [mm]P(z)=0\![/mm]. Ich hoffe jemand kann
> mir den obigen Beweis erläutern!
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Ja, die Formulierung oben mit den Grenzwerten ist wirklich schlecht gewählt. Es steht ja eigentlich [mm] \infty*(-\infty) < 0 [/mm] da, und das ist Murks.
Du kannst es so sehen: Wegen [mm] \lim_{x\to\infty}{P(x)} = +\infty [/mm] gibt es ein [mm] b \in \IR [/mm] mit P(b)>0 und wegen [mm] \lim_{x\to-\infty}{P(x)} = -\infty [/mm] gibt es ein [mm] a \in \IR [/mm] mit P(a)<0.
Und jetzt kannst du den ZWS anwenden.
Kurz gesagt... du hast recht. Wer auch immer den Beweis so hingeschrieben hat, hat dabei ziemlich geschlampt.
Anmerkung: Eigentlich müsste man ja erst noch [mm] \lim_{x\to\infty}{P(x)} = +\infty [/mm] und [mm] \lim_{x\to-\infty}{P(x)} = -\infty [/mm] beweisen.
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> Danke!
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> Viele Grüße
> Karl
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Üblicherweise setzt man ja [mm]\infty \cdot (-\infty) = - \infty < 0[/mm] fest. Durch die Formulierung soll nur zum Ausdruck gebracht werden, daß [mm]P(x)[/mm] für [mm]x \to - \infty[/mm] bzw. [mm]x \to \infty[/mm] mit verschiedenem Vorzeichen gegen Unendlich strebt. Man kann das als sehr geschickte Formulierung ansehen, um die beiden Möglichkeiten, von denen Merle23 in seinem Beitrag die eine vergessen hat, unter eine gemeinsame Formulierung zu packen. Man kann es natürlich auch für ein bißchen arg spitzfindig halten.
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Hallo Merle und Leopold,
Danke für die Hilfe! Ich denke, ich hab's soweit bis auf eine Sache verstanden: Wo wird in diesem kurzen Beweis verwendet, das das Polynom ungeraden Grades ist? Oder anders gefragt: An welcher Stelle im obigen Beweis sollte ein (Zu-)Satz wie "Da das Polynom ungerade ist, ..." auftauchen?
Viele Grüße
Karl
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Karl,
> Hallo Merle und Leopold,
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> Danke für die Hilfe! Ich denke, ich hab's soweit bis auf
> eine Sache verstanden: Wo wird in diesem kurzen Beweis
> verwendet, das das Polynom ungeraden Grades ist? Oder
> anders gefragt: An welcher Stelle im obigen Beweis sollte
> ein (Zu-)Satz wie "Da das Polynom ungerade ist, ..."
> auftauchen?
das wird implizit bei der Grenzwertbetrachtung benutzt.
Der ungerade Grad sorgt dafür, dass $P(x)$ für $x\to\red{-}\infty}$ auch schön artig gegen $\red{-}\infty$ geht
Bei Polynomen geraden Grades klappt das nicht, da dieser Limes $\red{+}\infty$ wäre
LG
schachuzipus
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> Viele Grüße
> Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Do 17.07.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo schachuzipus,
Jetzt ist es klar. Danke! Hatte es vorhin nicht ganz durchdacht...
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:43 Do 17.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Karl,
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> > Hallo Merle und Leopold,
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> > Danke für die Hilfe! Ich denke, ich hab's soweit bis auf
> > eine Sache verstanden: Wo wird in diesem kurzen Beweis
> > verwendet, das das Polynom ungeraden Grades ist? Oder
> > anders gefragt: An welcher Stelle im obigen Beweis sollte
> > ein (Zu-)Satz wie "Da das Polynom ungerade ist, ..."
> > auftauchen?
>
> das wird implizit bei der Grenzwertbetrachtung benutzt.
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> Der ungerade Grad sorgt dafür, dass [mm]P(x)[/mm] für
> [mm]x\to\red{-}\infty}[/mm] auch schön artig gegen [mm]\red{-}\infty[/mm]
Einspruch:
[mm] $P(x)=-3x^3+2x^2+x$ [/mm] strebt bei $x [mm] \to \red{-} \infty$ [/mm] aber gegen [mm] $+\infty$ [/mm] 
Das hängt natürlich vom Vorzeichen des Koeffizienten bei der höchsten Potenz ab. Wichtig ist einfach nur, wenn das Polynom ungeraden Grad hat:
Es gilt $|P(x)| [mm] \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to -\;\infty} P(x)=-\;\lim_{x \to \infty} [/mm] P(x)$
(Letzteres ist im Sinne [mm] $-(\pm \infty)=\mp \infty$ [/mm] zu verstehen.)
Mein Einspruch ist aber auch nur ein kleiner Einspruch, denn natürlich könnte man von vorneherein sagen, dass man sich auf die Polynome beschränkt, deren Koeffizient bei der höchsten vorkommenden Potenz echt positiv ist (andernfalls betrachte man nämlich anstelle von $P$ einfach das Polynom [mm] $-\,P$).
[/mm]
Also nochmal kurz für Karl:
Du kannst das bisher gesagte genau so verwenden unter dem Zusatz, dass Du von vorneherein sagst:
Ohne Einschränkung habe $P$ die Gestalt [mm] $P(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$ [/mm] mit ungeradem $n [mm] \in \IN$, $a_0,\;...,\;a_n \in \IR$ [/mm] und [mm] $a_n [/mm] > 0$ (ist [mm] $a_n [/mm] < 0$, so betrachten wir einfach [mm] $P_1(x):=-P(x)=\sum_{k=0}^n (-a_k) x^k$). [/mm]
Dann gilt [mm] $\lim_{x \to \infty} P(x)=\infty$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to -\;\infty}P(x)=-\;\infty$...
[/mm]
(Wenn Du diese Einschränkung nicht vornimmst, musst Du nämlich strenggenommen Fälle unterscheiden, darauf hatte Leopold übrigens auch schonmal hingewiesen...)
Und eine Anmerkung:
Falls [mm] $P(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$ [/mm] mit geradem $n [mm] \in \IN$, $a_0,\;...,\;a_n \in \IR$ [/mm] und [mm] $a_n \not=0$, [/mm] so gilt [mm] $\lim_{x \to \pm \infty}P(x)=(\mbox{sign}a_n)*\infty$...
[/mm]
D.h. hier wäre der Zwischenwertsatz nicht (zumindest nicht ohne weitere Überlegungen) anwendbar.
Edit:
(Übrigens sollte man in dem Beweis auch irgendwo erwähnen, dass ein Polynom stetig ist.)
Es steht ja oben bei Karl's Frage dabei ^^
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
da hast du natürlich recht, ich war irgendwie automatisch von einem normierten Polynom ausgegengen
Danke fürs Aufpassen!
Gruß
schachuzipus
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