Nullstellen... ? Funktionschar < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionnenschar [mm] fa(x)=-x^3+ax^2+(a-1)x
[/mm]
a) Untersuche die Schar auf Nullstellen in Abhängigkeit von a. Gibt es Funktionen dieser Schar, die keine, nur eine, zwei oder mehr als 2 Nullstellen besitzen ?
b) Untersuche die Schar auf symmetrie und grenzwerte für x->+/-unendlich
c) Gibt es Parameter a, so dass der Graph von fa keinen wendepunkt hat?
d) Es gibt 2 Punkte, durch die alle Graphen dieser Schar laufen, welche? |
Hi, ich komme bei aufgabe a) nicht weiter:
Also als erstes habe ich eine Nullstrelle bei (0/0) ausgemacht da die Funktion kein kostantes glied hat. Doch bei der bestimmung der weiteren Nullstellen bin ich mir nicht sicher hier ist mein ansatz.
[mm] -x^3+ax^2+(a-1)x [/mm] /:X
[mm] -x^2+ax+(a-1) [/mm] /*(-1)
[mm] x^2-ax-(a-1) [/mm] / pq-Formel
x= -a/2+/- wurzel [mm] (a/2)^2-(a-1)
[/mm]
Also N [0/Wurzel-(a-1)]
und N [0/-a*wurzel -(a-1)]
b) Da weder alle Eponenten Gerade bzw. ungrerade sind ist keine Symmetrie zu erkennen.
x->unendlich fa(x)= - unendlich -x-> unendlich fa(x)= unendlich
c) Hier finde ich irgenwie keinen Ansatz !
d) P (0/0) und ?
Wäre echt nett wenn mir einer weiterhelfen könnte !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 So 15.10.2006 | | Autor: | lauravr |
> Also als erstes habe ich eine Nullstrelle bei (0/0)
> ausgemacht ...
Das klingt doch schon mal ganz gut.
> Doch bei der bestimmung der weiteren Nullstellen bin ich mir
> nicht sicher hier ist mein ansatz.
> [mm]-x^3+ax^2+(a-1)x[/mm] /:X
> [mm]-x^2+ax+(a-1)[/mm] /*(-1)
> [mm]x^2-ax-(a-1)[/mm] / pq-Formel
> x= -a/2+/- wurzel [mm](a/2)^2-(a-1)[/mm]
Gut, dass du x ausgeklammert hast. Das heißt, dass x = 0 ist, also eine Nullstelle bei (0/0) ist, unabhängig davon, wie a ist.
Nur pass auf, bei den Vorzeichen bei der p-q Formel. p=-1 q =(-a+1).
Hast du schon mal was von der Diskriminante D gehört? Das ist der Therm bei der pq-Formel.
Falls D>0 gibt es zwei Lösungen.
Falls D=0 gibt es eine Lösung.
Falls D<0 gibt es keine Lösung.
Jetzt musst du den Term jeweil mit <0, =0, >0 gleichsetzen und ihn nach a umstellen. Dann weißt du, bei welchem a es noch wieviele zusätzliche Nullstellen gibt.
Wenn du das raushast, darfst natürlich nicht vergessen noch die "alte" Nullstelle bei x=0 dazu zu zählen. Dann hast du alle Nullstellen in Abhängigkeit von a.
>
> b) Da weder alle Eponenten Gerade bzw. ungrerade sind ist
> keine Symmetrie zu erkennen.
Was ist denn, wenn z.B. a=0 ist? Wie sähe der Term denn dann aus ;) ?
> c) Hier finde ich irgenwie keinen Ansatz !
Zunächst einmal musst du so tun, als wolltest du Wendestellen haben. Das heißt, du bildest erst einmal die zweite Ableitung und berechnest die x-Werte bei denen f''(x) = 0 gilt. Für x wirst du eine Lösung in Abhängigkeit von a rausbekommen.
Wenn du a jetzt so veränderst, das die Lösung nicht mehr gültig ist, z.b. ein negativer Term unter einer Wurzel ständ, dann sind das die a-Werte, für die es eben keine Wendepunkte gibt ;) .
> d) P (0/0) und ?
Such dir einfach zwei beliebiege Werte für a aus, setze sie in die Funktionsvorschrift ein und setze diese beiden dann gleich. Als Ergebnis bekommst du die x-Stellen, durch die alle Graphen der Funktionenschar laufen.
Viel Erfolg, Lg Laura
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Vielen dank für die schnelle Antwort !!! Ich glaube ich habe es jetzt verstanden!
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