Nullstellen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo. Ich versuche grade den Mathe 2 Schein an der hs zu kriegen. Bin aber grottenschlecht und komme nur sehr langsam voran. Könnt ihr mir sagen, wie ich folgenden Term in die Normalform bringen kann:
[mm] y=5*e^{-x}^2
[/mm]
also y=5*e hoch -x hoch 2
so das ich danach per pq Formel die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente ausrechnen kann.
Danke |
Hallo. Ich versuche grade den Mathe 2 Schein an der hs zu kriegen. Bin aber grottenschlecht und komme nur sehr langsam voran. Könnt ihr mir sagen, wie ich folgenden Term in die Normalform bringen kann:
[mm] y=5*e^{-x}^2
[/mm]
also y=5*e hoch -x hoch 2
so das ich danach per pq Formel die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente ausrechnen kann.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mi 20.05.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ich nenne mal y=f(x) und nehme an, dass du meinst
[mm] f(x)=5*e^{-x^2}
[/mm]
(denn [mm] 5e^{-2x} [/mm] besitzt keine Extrema)
Eine notwendige Bedingung für eine waagerechte Tangente an den Graphen von f(x), d.h. für ein Extremum von f, ist
$f'(x) = 0$
Bilde also die Ableitung von f mit Hilfe der Kettenregel:
$f'(x) = 5 * (-2x) * [mm] e^{-x^2} [/mm] = (-10x) * [mm] e^{-x^2}$
[/mm]
Überlege dir, dass gilt
[mm] $e^x>0$ \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
Damit gilt nämlich auch
[mm] $e^{-x^2}>0$ \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
d.h. f' kann nur 0 werden, wenn der Faktor vor dem [mm] e^{-x^2} [/mm] verschwindet, also
-10x = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 0
x=0 ist also die einzige mögliche Extremstelle von f.
Du kannst nun entweder die hinreichende Bedingung
f''(0) [mm] \not= [/mm] 0
überprüfen, oder - wenn man so faul ist wie ich und sich die Ableiterei mit Produkt- und Kettenregel sparen möchte - einen Vorzeichenwechsel bei der 1. Ableitung in einer Umgebung von 0 prüfen.
Eine negative Zahl a ergibt, wie auch ihr Betrag |a| den gleichen Wert
[mm] e^{-a^2}
[/mm]
Der Faktor davor ändert aber das Vorzeichen:
-10a > 0 > -10 |a|
Also gilt f'(a) > 0 > f'(|a|)
d.h. f hat einen Hochpunkt bei 0 und somit eine waagerechte Tangente an den Punkt (0 / f(0)).
Die p-q-Formel bringt dir hier nichts, denn damit untersucht man Nullstellen von (quadratischen) Polynomen.
LG djmatey
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Danke. Bis zum Vorzeichenwechsel hab ich alles kapiert. Die richtige Antwort im Buch lautete:
P1(0; 5)
Wie kommt man auf die 5?
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> Danke. Bis zum Vorzeichenwechsel hab ich alles kapiert. Die
> richtige Antwort im Buch lautete:
> P1(0; 5)
> Wie kommt man auf die 5?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das ist der Funktionswert an der Stelle 0, also [mm] f(0)=5*e^{-0^2}=5*e^0=5*1=5.
[/mm]
[mm] P_1 [/mm] ist doch ein Punkt auf den Graphen. Vorne steht das, was man für x einsetzt, und hinten der passende Funktionswert. (Denk dran, wie Du Funktionen zeichnest.)
Gruß v. Angela
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Super. Danke für die Hilfe.
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