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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Mo 17.05.2004 | | Autor: | drummy |
Hallo!
Ich suche die Nullstellen für folgende Funktion:
[mm] f(x)=0,04x^4-x^2+0,96
[/mm]
Ich hab durch euren FunkyPlot zwar die Lösungen kenne aber nicht den Rechenweg. Vielleicht kann mir ja einer helfen. Würde mich über einen einfachen Rechenweg freuen.
Im voraus schönen Dank
drummy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Youri |
> Hallo!
Hallo Drummy -
und willkommen im Matheraum!
> Ich suche die Nullstellen für folgende Funktion:
>
> [mm] f(x)=0,04x^4-x^2+0,96
[/mm]
Wie würdest Du denn normalerweise bei einer ganzrationalen Funktion vorgehen,
um die Nullstellen zu finden?
Dein Ausgangsfunktion ist eine Funktion vierten Grades die offenbar y-achsensymmetrisch ist, da nur Potenzen von x mit geradem Exponenten als Summanden vorkommen.
[mm] f(x)=0,04x^4-x^2+0,96 [/mm]
Setze
[mm] f(x) = 0 [/mm]
Als ersten Schritt würde ich Dir empfehlen, die Gleichung zu normieren, also den Vorfaktor vor dem Summanden mit der höchsten Potenz von x zu entfernen, in diesem Fall also die 0,04.
[mm] 0,04x^4-x^2+0,96 = 0 | : 0,04 [/mm]
[mm] x^4 - 25x^2 + 24 = 0 [/mm]
Jetzt sieht das ganze schon ein wenig übersichtlicher aus.
Mit einer kleinen Umformung / Ersetzung kannst Du nun zu einer "gewöhnlichen" quadratischen Gleichung gelangen, die Du z.B. mit der p/q-Formel lösen kannst.
Ersetze doch mal in der obigen Gleichung [mm] x^2 [/mm] durch [mm] z [/mm].
Siehst Du, was ich meine?
Kommst Du nun weiter mit der Lösung der Gleichung?
Über eine Rückmeldung oder weitere Fragen, falls ich mich unklar ausgedrückt haben sollte,
würde ich mich freuen.
Liebe Grüße,
Andrea.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 18.05.2004 | | Autor: | drummy |
Wenn ich doch jetzt für [mm] x^2 [/mm] z einsetze dann habe ich doch immer noch keine quadratische Funktion, sondern nur [mm] x^4-25z+24=0 [/mm] oder?
Wie lautet denn die Formel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Di 18.05.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Drummy,
nein, das Ersetzen von [mm] $x^2$ [/mm] durch $z$ macht nur Sinn, wenn Du alle auftretenden [mm] $x^2$ [/mm] ersetzt - und [mm] $x^4$ [/mm] ist doch nichts anderes als [mm] $(x^2)^2$ [/mm] beziehungsweise nach Ersetzen [mm] $z^2$.
[/mm]
Du erhälst also eine ganz normale quadratische Gleichung:
[mm]z^2-25z+24[/mm]
Die kannst Du jetzt Null setzen und wenn Du dann die Ersetzung rückgängig machst, kommst Du auf die gesuchten $x$. Probier's bitte mal alleine, wenn Fragen offen sind, kannst Du sie aber natürlich jederzeit hier loswerden.
Mach's gut
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 18.05.2004 | | Autor: | drummy |
Diese Art zur Lösung der Aufgabe habe ich jetzt verstanden. Könnte mir vielleicht auch noch jemand helfen die Nullstellen dieser Funktion mit der Hilfe von der Polynomdivision zu finden?
[mm] (0,04x^4-x^2+0,96)
[/mm]
Im voraus schönen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 18.05.2004 | | Autor: | Oliver |
So, dann probieren wir es auch einmal mit Polynomdivision. Hier ist der Haken, dass Du alle Nullstellen bis auf die letzten beiden raten musst - Du kannst Dir vorstellen, dass das bei komplizierten Funktionen haarig ist.
Ergo: Die andere Methode mit der Substitution ist eleganter, wenn Du aber keine ordentliche Substitution findest, bist Du aufgeschmissen.
Nach der langen Vorrede aber nun zum eigentlichen Vorgehen:
Angenommen Du hast ein Polynom $n$-ten Grades ($x$ tritt als [mm] $x^n$ [/mm] in der höchsten Potenz auf), dann hat es maximal $n$ Nullstellen [mm] $N_i \in \IR$ [/mm] . Falls es genau $n$ Nullstellen hat, lässt es sich in der Form [mm] $\prod_{i=1}^{n}{(x-N_i)}$ [/mm] darstellen. Durch Erraten der ersten Nullstelle [mm] $N_1$ [/mm] kennst Du also bereits einen der Faktoren in dieser Darstellung, nämlich [mm] $(x-N_1)$. [/mm] Du kannst also das Polynom durch diesen Faktor teilen, erhälst ein Polynom $(n-1)$-ten Grades und so machst Du weiter, bis Du bei einer quadratischen Gleichung angelangt bist. Deren Nullstellen kannst Du dann wie gehabt ausrechnen.
Zur Verdeutlichung mache ich Dir den ersten Schritt mal an Deiner Aufgabe vor, den Rest probierst Du bitte mal selber (die Lösungen kennst Du ja schon, da kannst Du gut kontrollieren).
1. Ich habe das Polynom [mm] $p(x)=x^4-25x^2+24$ [/mm] (der besseren Lesbarkeit Willen habe die Funktion wieder mit dem Faktor 25 multipliziert) vierten Grades, es gibt also maximal 4 Nullstellen. Ich rate, dass 1 eine Nullstelle ist (Tipp: Immer mal zuerst mit -1, 0, 1, 2 probieren ... Euer Lehrer wird Euch schon keine Aufgaben geben, bei denen ihr [mm] $\sqrt{23}$ [/mm] oder so etwas raten müsst) und überprüfe, dass $p(1)=1-25+24=0$ tatsächlich Null ist.
2. Ich führe die Polynomdivision durch (geht wie schriftliche Division), d.h. ist teile $p(x) : (x-1)$, und reduziere den Grad meines Polynoms so um 1 :
[mm](x^4-25x^2+24):(x-1)= \red{x^3} \blue{+x^2} \green{-24x} -24 \\
\red{-(x^4-x^3)} \\
\red{=x^3-25x^2+24} \\
\blue{-(x^3-x^2)} \\
\blue{=-24x^2+24} \\
\green{-(-24x^2+24x)} \\
\green{=-24x+24} \\
-(-24x+24) \\
=0[/mm]
3. Jetzt habe ich mein neues Polynom [mm] $p_1(x)=x^3+x^2-24x-24$ [/mm] und rate wieder eine Nullstelle. Diesmal "springt" mir -1 in's Auge. Ich mache also wieder Polynomdivision, diesmal [mm] $p_1(x) [/mm] : [mm] (x-(-1))=p_1(x) [/mm] : (x+1)$. Probier' hier mal bitte selbst weiter ... bei dem Thema macht erst Übung Meister :))
4. Jetzt müsstest Du bei einer quadratischen Gleichung angelegt sein, d.h. ein Polynom zweiten Grades. Wenn Du das mit pq-Formel löst, kommst Du auf Deine zwei noch fehlenden Nullstellen.
Mach's gut
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Di 18.05.2004 | | Autor: | drummy |
Hallo Oliver,
schönen Dank für die Erklärung der Polynomdivision!
Hab die Lösungen rausbekommen
Gruß Thomas
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