Nullstellen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 So 03.07.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen! :)
Ich habe ein kleines Problem bei einem Beweis und weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
Beweisen Sie für ein Polynom p vom Grad n [mm] \ge [/mm] 1: Genau dann hat p eine k-fache Nullstelle im Punkt a (d.h. es gilt [mm] p(x)=(x-a)^{k}q(x) [/mm] mit einem Polynom q vom Grad [mm] n-k\ge0 [/mm] mit [mm] q(a)\not=0), [/mm] wenn
p(a)=p´(a)= ... = [mm] p^{(k-1)}(a)=0 [/mm] und [mm] p^{(k)}(a)\not= [/mm] 0.
Hinweis: Benutzen Sie zur Lösung die Produktregel von Leipnitz. Selbige besagt: Sind f,g ]c,d[ [mm] \to \IR [/mm] mindestens k-mal differenzierbar, so gilt
[mm] (fg)^{(k)}(x)=\summe^{k}_{\mu=0} \vektor{k \\ \mu}f^{(\mu)}(x)g^{(k-\mu)}(x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] ]c,d[ wobei [mm] f^{(0)}:=f [/mm] und [mm] f^{(0)}:=g
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir da helfen.
Viele Grüße Becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 So 03.07.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo
Was du (unter den genannten Voraussetzungen) beweisen sollst, ist.
p(x) = (x - [mm] a)^k*q(x) [/mm] [q(a) [mm] \not= [/mm] 0] [mm] \gdw [/mm] p(a) = p'(a) = ... = [mm] p^{(k-1)}(a) [/mm] = 0, [mm] p^{(k)}(a) \not= [/mm] 0.
" [mm] \Rightarrow" [/mm] Ist einfach, schaust dir die Formel an und guckst, was passiert (Benutze: [mm] 0^z [/mm] = 0 , z [mm] \in \IZ\\{0}; 0^0 [/mm] = 1)
[mm] "\Leftarrow" [/mm] ist meiner Ansicht einfach, dass du es konstruieren sollst, und kommst dann, dass es die Form [mm] (x-a)^k [/mm] haben muss, und Multiplikation mit einer Konstante ausser Null ( q(a) ) ändert daran nix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 So 03.07.2005 | | Autor: | Becks |
Sorry, ich glaube ich verstehe das nicht so richtig. :(
Kannst du es vielleicht etwas mehr erläutern?
Wäre dir sehr dankbar.
Viele Grüße Becks
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 So 03.07.2005 | | Autor: | kuroiya |
zu [mm] "\Rightarrow": [/mm]
Schauen wir uns mal die erste Ableitung an:
p'(x) = k(x-a)^(k-1)*q(x) - [mm] (x-a)^k [/mm] *q'(x)
p'(a) ist offensichtlich 0.
ich nehme an, dass dir die Formel [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \frac{a!}{b!(a-b)!} [/mm] bekannt ist.
Wenn du dir also die Leibnitzsche Produktformel anschaust, erkennst du, dass du bis zur (m-1)-ten Ableitung nur Terme hast, die [mm] Vorfaktor*(x-a)^n [/mm] (n [mm] \in [/mm] (0, m-1) ) *(irgendwelche Ableitungen von q(x)) beinhalten. An der Stelle x = a werden diese alle Null.
Betrachte nun die m-te Ableitung. Hier tritt nun insbesondere ein Term auf: [mm] m!(x-a)^0*q(x). [/mm] Und da [mm] 0^0 [/mm] =1 ist die m-te Ableitung an der Stelle a [mm] \not= [/mm] 0, sondern m!q(a) (bemerke die Voraussetzung q(a) [mm] \not= [/mm] 0).
Das musst du nur noch ein bischen schön hübsch mathematisch formulieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Becks |
Ich werde mir das gleich mal anschauen. :)
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