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| Aufgabe | bestimmen Sie alle Lösungen in [mm] \IC [/mm] der Gleichung:
[mm] z^{4}+z^{2}+1=0 [/mm] |
Hallo Leute,
ich bin einfach total überfordert mit den komplexen Zahlen. Wenn ich die Gleichung nehme und zunächst einmal substituiere, komme ich auf:
[mm] w^{2}+w+1=0
[/mm]
und schließlich mit der pq-Formel auf:
[mm] w_{1}=-1/2 [/mm] - [mm] i*\wurzel{3}/2
[/mm]
[mm] w_{2}=-1/2 [/mm] + [mm] i*\wurzel{3}/2
[/mm]
so, ab jetzt kommen meine Probleme.
Wenn ich die Aufgabe jetzt auf die Polarform/Exponentialform bringen will, erhalte ich also:
[mm] z^{2}=-1/2 [/mm] + [mm] i*\wurzel{3}/2
[/mm]
[mm] =cos(2\pi/3) [/mm] + [mm] i*sin(\pi/3)
[/mm]
so, aber wie komme ich denn jetzt weiter auf die Exponentialform. Müssten dafür die Ausdrücke bei cos und sin gleich sein?!?
Sorry, aber ich verstehe das wirklich nicht :-(
[Ach ja, die Lösungen sollen eben ich Exponentialform sein.]
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen...
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mo 05.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Sabine
Wenn du noch Schwierigkeiten mit komplexen Zahlen hast, solltest du sie erstmal immer in der Komplexen Ebene eintragen. dann siehst du hier dass dein w1 im dritten Quadranten liegt, dein w2 im 2 ten Quadranten.
den winkel kannst du sogar ablesen.
Da deine w nicht den Betrag 1 haben, kannst du sie auch nicht -wie gesucht- als [mm] cos\phi+isin\phi [/mm] schreiben. sondern [mm] alsw=r(cos\phi+i*sin\phi)=r*e^{i\phi}
[/mm]
rechne zuerst den Betrag aus: dann klammere ihn aus. dann kannst du [mm] \phi [/mm] ausrechnen. oder du bildest bei w=a+ib den arctan(b/a) denk aber dran, dass der mehrere Werte hat. den richtigen findest du wo cos und sin beide den richtigen Wert geben, oder aus deiner Zeichnung.
gruss leduart
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Hallo Leduart,
danke für deine schnelle Antwort. Aber genau da liegt mein Problem - meine w haben doch die Länge 1.
$ [mm] w_{1}=-1/2 [/mm] $ - $ [mm] i\cdot{}\wurzel{3}/2 [/mm] $ hiervon der Betrag sieht doch so aus:
[mm] \wurzel{(-1/2)^{2}+(\wurzel{3}/2)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{1/4 + 3/4} [/mm] = [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1
Hab ich da einen Fehler drin?!?
Demnach kann ich doch auch nichts rausziehen und stehe immer noch vor meinem Problem :-(
Liebe Grüße
Sabine
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Beim Betrag hat sich Leduart in der Tat vertan. Aber ansonsten denke an seine Bemerkung, dir die komplexen Zahlen einzuzeichnen. Dann siehst du, daß [mm]\varphi = \frac{2 \pi}{3}[/mm] der richtige Winkel ist. Und dafür gilt ja auch
[mm]\sin \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right)[/mm]
Im übrigen könntest du auch einmal [mm](z^4 + z^2 + 1)(z^2 - 1)[/mm] ausmultiplizieren. Dann siehst du, was sich als Lösungen des biquadratischen Faktors ergeben müssen.
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