Nullstellen Sinusfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:45 Do 20.03.2014 | | Autor: | ani287 |
| Aufgabe | Gegeben ist die auf D = R stetige, differenzierbare und periodische Funktion
y = f(x) = [mm] sin^3(x) [/mm] - [mm] sin^2(x)
[/mm]
Die Periode ist p = 2 pi, das zu diskutierende Hauptintervall ist I = (0, 2 pi).
a) Begründen Sie warum die Funktion periodisch mit der angegebenen Periode ist.
b) Ermitteln Sie die Lage und Art der Nullstellen der Funktion im Hauptintervall.
c) Machen Sie eine begründete Aussage über die Existenz und Anzahl von Wendepunkten im Hauptintervall. Die Berechnung der Wendestellen ist nicht gefordert! |
Hallo erstmal. Leider ist das Thema schon eine Weile her bei mir. Ich wollte dennoch versuchen es jemandem beizubringen. Vielleicht kann mir ja jemand bei meinen Fragen helfen. Schonmal Danke im Voraus :)
a) Sinusfunktionen sind doch immer periodisch?!
f(x) = f(x+p) = f(x+2p) .....
heißt doch hier in dem Bspl. z.B.:
f(1) = 0,60
f(1+2pi) = 0,60
Oder gibt es da eine andere Art dies zu beweisen (auch wegen der angegebenen Periode)?
b) Die Nullstellen von f(x) = sin (x) sind mir bekannter Weise
x = k * pi mit k E Z
habe auch für meine Funktion die Nullstellen rausgefunden:
𝑥𝑁1 =2⋅𝜋⋅𝑘{𝑘∣𝑘∈ℤ}
𝑥𝑁2 =2⋅𝜋⋅𝑘+𝜋/2{𝑘∣𝑘∈ℤ}
𝑥𝑁3 =2⋅𝜋⋅𝑘+𝜋{𝑘∣𝑘∈ℤ}
Aber kann mir leider nicht erklären wie das funktioniert :( wenn das jemand vllt mal Schritt für Schritt tun könnte wäre ich sehr sehr dankbar..
c) Das ich Wendepunkte mit f´´(x) = 0 bestimmte weiß ich auch, aber wie macht man es ohne es zu berechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
a)
Daß [mm] \sin(x) 2\pi [/mm] -periodisch ist, ist klar und kann sicher vorausgesetzt werden.
Aber [mm] \sin^2(x) [/mm] ist [mm] \pi [/mm] -periodisch! [mm] \sin^3(x) [/mm] ist dann wieder [mm] 2\pi [/mm] -periodisch. In der Summe ist deine Funktion [mm] 2\pi [/mm] -periodisch, weil das kleinste gemeinsame Vielfach der einzelnen Periodizitäten die gesamtperiodizität ist.
Das kann man sich anschaulich auch ganz gut klar machen, indem man die Funktionen einfach mal zeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
b)
Naja, du kannst schreiben:
[mm] \sin^3(x)-\sin^2(x)=\sin(x)*\sin^2(x)-\sin^2(x)=\sin^2(x)*(\sin(x)-1)
[/mm]
Hieraus ergibt sich, daß [mm] \sin^2(x)=0, [/mm] also [mm] \sin(x)=0 [/mm] gelten muß, oder [mm] \sin(x)-1=0 [/mm] bzw. [mm] \sin(x)=1 [/mm] . Damit läßt sich das auf bekannte Merkmale der einfachen Sinus-Funktion zurückführen.
c)
Hier muß ich passen. Im Prinzip ist klar, daß es Wendestellen geben muß, denn die Funktion ist periodisch, stetig differenzierbar (und nicht konstant), es muß also Minima und Maxima geben, und zwischen Minimum und Maximum muß dann auch immer eine Wendestelle liegen. Aber wie man jetzt genau ohne Rechnung drauf kommen soll, ist mir grade nicht klar. Daher lasse ich die Frage mal teilbeantwortet.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Do 20.03.2014 | | Autor: | ani287 |
Ok schonmal danke wegen der a).
zu b) verstehe ich zwar dass man das umschreiben kann, aber irgendwie leider nicht wirklich wie man auf die von mir aus dem Internet (Kurvendiskussion-Rechner) ermittelten Nullstellen kommt:
𝑥𝑁1 =2⋅𝜋⋅𝑘{𝑘∣𝑘∈ℤ}
𝑥𝑁2 =2⋅𝜋⋅𝑘+𝜋/2{𝑘∣𝑘∈ℤ}
𝑥𝑁3 =2⋅𝜋⋅𝑘+𝜋{𝑘∣𝑘∈ℤ}
Vielleicht ist das gerade ne doofe Frage, aber bei der Sinusfunktion sind die Nullstellen wie ich oben geschrieben habe ja x= 𝜋⋅𝑘
Komme irgendwie einfach nicht dahinter, wieso es jetzt bei xN1 =2⋅𝜋⋅𝑘 bzw. bei N2 dann noch+𝜋/2 und bei N3+𝜋 ist. Gibt es da irgendeinen Rechenweg zu den ich evtl. nachvollziehen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:52 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok schonmal danke wegen der a).
>
> zu b) verstehe ich zwar dass man das umschreiben kann, aber
> irgendwie leider nicht wirklich wie man auf die von mir aus
> dem Internet (Kurvendiskussion-Rechner) ermittelten
> Nullstellen kommt:
> 𝑥𝑁1 =2⋅𝜋⋅𝑘{𝑘∣𝑘∈ℤ}
> 𝑥𝑁2 =2⋅𝜋⋅𝑘+𝜋/2{𝑘∣𝑘∈ℤ}
> 𝑥𝑁3 =2⋅𝜋⋅𝑘+𝜋{𝑘∣𝑘∈ℤ}
>
> Vielleicht ist das gerade ne doofe Frage, aber bei der
> Sinusfunktion sind die Nullstellen wie ich oben geschrieben
> habe ja x= 𝜋⋅𝑘
> Komme irgendwie einfach nicht dahinter, wieso es jetzt bei
> xN1 =2⋅𝜋⋅𝑘 bzw. bei N2 dann noch+𝜋/2 und bei
> N3+𝜋 ist. Gibt es da irgendeinen Rechenweg zu den ich
> evtl. nachvollziehen kann?
rechne doch einfach:
[mm] $f(x)=\sin^3(x)-\sin(x)^2\,.$
[/mm]
Die Nullstellen [mm] $x_N$ [/mm] sind charakterisiert durch
[mm] $x_N$ [/mm] ist Nullstelle von [mm] $f\,$
[/mm]
[mm] $\iff$ $f(x_N)=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\sin^3(x_N)-\sin^2(x_N)=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\sin^2(x_N)*(\sin(x_N)-1)=0\,.$
[/mm]
Die Funktion $x [mm] \mapsto \sin^2(x)$ [/mm] hat genau die Nullstellen
[mm] $x_{\tilde{N}}=k*\pi$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$).
[/mm]
Es gilt quasi mit obigen Bezeichnungen:
Die
[mm] $x_{\tilde{N}}$
[/mm]
sind die gleichen Zahlen, wie, wenn man oben die
[mm] $x_{N_1}$ [/mm] und [mm] $x_{N_3}$ [/mm]
zusammenwirft:
[mm] $\{m*\pi:\;\; m \in \IZ\}=\{\underbrace{k * 2\pi}_{=2k*\pi}:\;\; k \in \IZ\} \cup \{\underbrace{\ell*2\pi+\pi}_{=(2\ell+1)*\pi}: \;\; \ell \in \IZ\}\,.$
[/mm]
(Noch elementarer steht da *im Wesentlichen* sowas wie:
Alle ganzen Zahlen sind das gleiche wie die Vereinigung aller geraden
ganzen Zahlen mit allen ungeraden ganzen Zahlen. "Im Wesentlichen",
weil oben natürlich der Faktor [mm] $\pi$ [/mm] in Wahrheit dabei steht...)
Jetzt die Frage an Dich:
Was haben wohl die
[mm] $x_{N_2}$
[/mm]
mit
[mm] $\sin(x)-1=0$
[/mm]
zu tun?
P.S. Zu der Frage der *Art der Nullstellen*:
Eine Nullstelle kann *positiv durchlaufen werden* (im Sinne von "von Minus
nach Plus") - dann wäre die Ableitung an dieser Stelle $> [mm] 0\,.$
[/mm]
Eine Nullstelle kann *negativ durchlaufen werden* (im Sinne von "von Plus
nach Minus") - dann wäre die Ableitung an dieser Stelle $< [mm] 0\,.$
[/mm]
Oder sie kann *die [mm] $x\,$-Achse [/mm] berühren*. (Dann wäre die Ableitung an
dieser Stelle [mm] $=0\,.$)
[/mm]
[Sofern denn die Ableitung an der Nullstelle überhaupt existiert - aber wie
das sonst aussieht, kannst Du Dir ja auch allgemeiner klar machen:
*positiv durchlaufen* <-> es gibt eine (kleine) Umgebung der Nullstelle so,
dass alle Werte "echt links" der Nulllstelle auch $< 0$ und alle Werte
"echt rechts" der Nullstelle auch $> 0$ sind...
Bzw. strenggenommen müßtest Du da eigentlich eine Definition vorgelegt
bekommen haben, ansonsten ist dieser Begriff *schwammig* - man könnte
mit sowas i.a. ja auch sowas wie "Vielfachheit einer Nullstelle" meinen...
wenngleich das natürlich dann von der Aufgabe her klar sein sollte, ob
sowas sinnvoll wäre, oder, wie hier: eher nicht...]
Ich glaube, auf die Art der Nullstellen wurde noch nicht eingegangen! (Wobei
man am Graphen durchaus direkt sieht, welche Art der Nullstellen hier
vorliegt...).
P.P.S. Auch eine mögliche Argumentationsvorlage zur Nullstellenart:
Für
[mm] $\sin^3(x)-\sin^2(x)$ [/mm]
gilt wegen
[mm] $\underbrace{\sin^2(x)}_{\ge 0}*(\sin(x)-1)$
[/mm]
und weil stets
[mm] $\sin(x)-1 \le [/mm] 0$
sein muss (warum?) stets
[mm] $\sin^3(x)-\sin^2(x)\le 0\,.$ [/mm]
(Auch das erkennt man an dem Graphen wunderbar!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 22.03.2014 | | Autor: | ani287 |
Hallo,
also ich versteh es teilweise ja schon. Aber ich denke ich mir fehlt da eindeutig ein Hinweis...
Also, dass xN2 was mit sin x - 1 zu tun hat kann ich natürlich darauf zurückführen, dass wenn ich sin x - 1 = 0 setze und nach x auflöse, erhalte ich [mm] \pi/2. [/mm] Somit ist xN2 [mm] =\pi/2
[/mm]
Aus der Gleichung erhalte ich ja auch noch XN1, wenn ich [mm] \sin(x)^2\ [/mm] = 0
somit xN1 = 0
Aus dem Plotter erkennbar habe ich noch folgende weitere Nullstellen (im angegebenen Intervall): xN3 = [mm] \pi [/mm] und xN4 = 2 [mm] \pi
[/mm]
Gibt es hier eine Möglichkeit diese Zahlen zu errechnen?!
Mein Problem liegt glaube ich an dem Verständnis wie ich die allgemeinen Nullstellen angebe, sprich das mit k * [mm] \pi [/mm] usw. bzw. hier in dem Beispiel "wieso 2* [mm] \pi [/mm] * k"
Kann mir das vielleicht jemand erklären? Vielen Dank schonmal.
PS. Die Art der Nullstellen ist damit gemeint, ob sie berührend oder schneidend sind.. was man ja am Graphen deutlich erkennt.
Grüße Marina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Sa 22.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vorraussetzen muss man schon, dass man die Nst von sinx kennt, also [mm] 0,\pi,2\pi
[/mm]
dass [mm] sin^2 [/mm] und [mm] sin^3 [/mm] dieselben haben sollte auch klar sein
zustlich kommen noch die dazu wo sinx=1 ist also [mm] \pi/2.
[/mm]
damit haben wir alle Nst, und haben nur die Kenntnisse über die sin-funktion benutzt.
dass [mm] sin^2(x)*(sinx-1 [/mm] ) [mm] \le [/mm] 0 sollte auch klar sein.
damit muss zwischen je 2 Nst ein Minimum liegen die Nst selbst mussen Maxima sein.
zwischen max und Min muss immer ein Wendepunkt sein, also kann man jetzt die Wendepunkte abzählen, auch ohne den Graph zu sehen.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aus dem Plotter erkennbar habe ich noch folgende weitere
> Nullstellen (im angegebenen Intervall): xN3 = [mm]\pi[/mm] und xN4 =
> 2 [mm]\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Gibt es hier eine Möglichkeit diese Zahlen zu
> errechnen?!
kennst Du die Definition des Sinus am Einheitskreis? Damit ist (unter
Beachtung der $2\pi$-Periodizität) sofort klar, dass alle Nullstellen des
Sinus gegeben sind durch die Menge
$\{0+k*2\pi:\;\; k \in \IZ \} \cup \{\pi+m*2\pi:\;\; m \in \IZ}\}\,.$
Warum? Mach' Dir einfach mal 'ne Skizze mit dem Einheitskreis im $\IR^2\,.$
P.S. Analytisch kann man das auch machen, wird aber (etwas) aufwendiger...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:27 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
>
> a)
>
> Daß [mm]\sin(x) 2\pi[/mm] -periodisch ist, ist klar und kann sicher
> vorausgesetzt werden.
>
> Aber [mm]\sin^2(x)[/mm] ist [mm]\pi[/mm] -periodisch! [mm]\sin^3(x)[/mm] ist dann
> wieder [mm]2\pi[/mm] -periodisch. In der Summe ist deine Funktion
> [mm]2\pi[/mm] -periodisch, weil das kleinste gemeinsame Vielfach der
> einzelnen Periodizitäten die gesamtperiodizität ist.
>
> Das kann man sich anschaulich auch ganz gut klar machen,
> indem man die Funktionen einfach mal zeichnet:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> b)
>
> Naja, du kannst schreiben:
>
> [mm]\sin^3(x)-\sin^2(x)=\sin(x)*\sin^2(x)-\sin^2(x)=\sin^2(x)*(\sin(x)-1)[/mm]
>
> Hieraus ergibt sich, daß [mm]\sin^2(x)=0,[/mm] also [mm]\sin(x)=0[/mm]
> gelten muß, oder [mm]\sin(x)-1=0[/mm] bzw. [mm]\sin(x)=1[/mm] . Damit läßt
> sich das auf bekannte Merkmale der einfachen Sinus-Funktion
> zurückführen.
>
>
> c)
>
> Hier muß ich passen. Im Prinzip ist klar, daß es
> Wendestellen geben muß, denn die Funktion ist periodisch,
> stetig differenzierbar (und nicht konstant), es muß also
> Minima und Maxima geben, und zwischen Minimum und Maximum
> muß dann auch immer eine Wendestelle liegen. Aber wie man
> jetzt genau ohne Rechnung drauf kommen soll, ist mir grade
> nicht klar.
wieso - im Endeffekt sagst Du es doch: Es reicht, mit lokalen Minimalstellen
und lokalen Maximalstellen zu argumentieren. Diese kommen wunderbar
im Wechsel vor, man kann deren Anzahl im erwähnten Hauptintervall
relativ locker bestimmen. Die Wendestellen selber sollen ja gar nicht
konkret berechnet werden!
Es geht nur darum, etwa sowas zu sagen wie:
[mm] $x_1$ [/mm] ist lokale Minimalstelle im Intervall ... und [mm] $x_2$ [/mm] ist die nächste Extremstelle
in Intervall ... nach [mm] $x_1,$ [/mm] welche Maximalstelle sein muss, weil... Also
liegt da genau eine Wendestelle in [mm] $(x_1,x_2)\,,$ [/mm] weil ...
Etc. pp.
Gruß,
Marcel
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Hallo!
Naja... ich habe die Funktion ja oben mal geplottet, und da sieht man eben, wo etwa Wendestellen vorkommen.
Man sollte dann nicht versuchen, den Grafen mit ein wenig mathematischen Argumentationen zu schmücken, die am Grafen auch einleuchtend sind.
Das soll kein Angriff sein, aber das ist allgemein etwas, wozu man all zu leicht neigt.
Mal ein Gegenbeispiel:
[mm] f(x)=\sin^3(x)
[/mm]
sieht so ähnlich aus wie ein Sinus, hat aber bei den Nullstellen Sattelpunkte. Zwischen Minimum und Maximum müssen daher drei Wendestellen liegen. Dazu muß man aber das mit dem Satteplunkt wissen.
Nungut, untersucht man die Funktion auf Extremstellen, wird man auch die Sattelpunkte finden, und dementsprechend wissen, daß links und rechts davon auch jeweils eine Wendestelle sein muß. Dann muß man allerdings auch prüfen, von welcher Art die Extrema sind, um eben die Sattelpunkte als solche - und somit als weitere Wendestelle zu erkennen.
Noch schlimmer:
[mm] f(x)=\sin^3(x)+\sin(x) [/mm]
hat die gleichen Minima/Maxima und Nullstellen, aber die Nullstellen sind keine Sattelpunkte (und damit Extrema) mehr, sondern "nur noch" Wendestellen, die man nur findet, wenn man explizit nach ihnen sucht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Naja... ich habe die Funktion ja oben mal geplottet, und da
> sieht man eben, wo etwa Wendestellen vorkommen.
> Man sollte dann nicht versuchen, den Grafen mit ein wenig
> mathematischen Argumentationen zu schmücken, die am
> Grafen auch einleuchtend sind.
das braucht man auch gar nicht - alles, was Du sagst, kann man mit der
mathematischen Theorie einwandfrei begründen, auch, wenn man nur
"analytisch rein algebraisch" vorgeht.
Unsere obige Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ist sowieso sogar unendlich oft (stetig) differenzierbar.
An einer Wendestelle [mm] $x_W$ [/mm] muss notwendig [mm] $f\,''(x_W)=0$ [/mm] sein. Ist nun
[mm] $x_m$ [/mm] Minimalstelle von [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $x_M$ [/mm] die darauffolgende Extremstelle,
also [mm] $x_M$ [/mm] hier Maximalstelle, so kannst Du etwas über die Vorzeichen von
[mm] $f\,''(x_m)$ [/mm] und [mm] $f\,''(x_M)$ [/mm] nachrechnen. Nach dem Zwischenwertsatz muss
daher schonmal eine Stelle
[mm] $x_\text{Test} \in (x_m,x_M)$
[/mm]
mit
[mm] $f\,''(x_\text{Test})=0$ [/mm]
existieren. Jetzt kann man vielleicht gucken, ob sich schnell und einfach
begründen läßt, warum
[mm] $f\,'''(x_\text{Test}) \not=0$
[/mm]
ist, und schon hat man die Existenz "einer" Wendestelle in [mm] $(x_m,x_M)\,.$
[/mm]
(Oder man guckt, ob man ein anderes, passendes Argument findet.)
Und dass es in [mm] $(x_m,x_M)$ [/mm] nur eine einzige solche geben kann: Vielleicht
findet man ja ein passendes Argument wie "Die zweite Ableitung [mm] $f\,''$ [/mm] ist auf
[mm] $[x_m,x_M]$ [/mm] streng monoton"...
Solche Dinge kann man *rechnen*, ohne, dass man den Graphen je geplottet
hat. Allerdings sieht man am Plot dann, dass man das, was man gerechnet
hat, auch wirklich sinnvoll war oder wo man einen Denkfehler hatte.
Und manchmal hilft der Plot ja auch, um zu sehen, was vielleicht sinnvoll
wäre, nachzurechnen (strückweise strenge Monotonie oder ...)...
Ist das klar, wie hier die Vorgehensweise ist? Oder soll ich das doch nochmal
genauer ausführen (und auch gucken, dass Argumente, die ich hier nur
als *passend* vermutet habe, sich auch bestätigen oder durch zur Aufgabe
passende Argumente ersetze...).
Gruß,
Marcel
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