Nullstellen,Wendepunkte,Extrem < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Mareike_ |
Ich habe die Frage nur hier gestellt.
Hi,
Ich habe hier eine Funktion: [mm]f(x)=0,5x^3+2x^2-x[/mm]
Von der soll ich folgenes ausrechnen bzw. habe ich ausgerechnet.
-Nullstellen
-Extremstellen (Tiefpunkt Hochpunkt)
-Wendepunkt
Wäre nett, wenn ihr mal schauen könnt, ob das so richtig ist.
[mm]f'(x)=1,5x^2+4x-1[/mm]
[mm]f''(x)=3x+4[/mm]
[mm]f'''(x)=3[/mm]
Nullstellen:
[mm]f(x)=0,5x^3+2x^2-x[/mm] /Nullsetzen, x ausklammern
[mm]0=x(0,5x^2+2x)[/mm] durch 0,5
[mm]0=x^2+4x[/mm] in die pq-Formel einsetzen
[mm]x(1,2)=-\bruch{p}{2}+ -\wurzel{\bruch{p}{2}^2-q}[/mm]
[mm]-2 + - \wurzel {4}[/mm]
[mm]x=0[/mm]
[mm]x=-4[/mm]
[mm]x=-2[/mm]
Extrema
[mm]y=1,5x^2+4x-1[/mm]
[mm]0=1,5x^2+4x-1[/mm]
[mm]=x^2+2,67x-0,67[/mm]wieder pq Formel einsetzen und ausrechnen
[mm]x=0,235[/mm]
[mm]x=-2,905[/mm]
y Ausrechnen, also x in die funktione insetzen
[mm]f(x)=0,5*0,235^3+2*0,235^2-0,235[/mm]
[mm]=-0,12[/mm]
[mm]f(x)=0,5*-0,235^3+2*-0,235^2+0,235[/mm]
[mm]=0,34[/mm]
x in die zweite Ableitung einsetzen um Tief und Hochpunkt zu bestimmen
Also beide Punkte
P (0,235/-0,12) tiefpunkt
P (-0,235/0,34) tiefpunkt
Wendepunkt
[mm]f''(x)=3x+4[/mm]
[mm]0=3x+4[/mm]
[mm]-\bruch{4}{3}=x[/mm]
[mm]f(x)=0,5*-\bruch{4}{3}^3+2*-\bruch{4}{3}^2+\bruch{4}{3}[/mm]
[mm]y=3,7[/mm]
lg. Mareike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mo 15.11.2004 | | Autor: | monja |
hi...
soweit ist alles richtig...
wenn ich da nichts übersehen habe...
lg. monja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
[mm]f(x)=0,5x^3+2x^2-x[/mm]
> [mm]f'(x)=1,5x^2+4x-1[/mm]
> [mm]f''(x)=3x+4[/mm]
> [mm]f'''(x)=3[/mm]
Richtig!
> Nullstellen:
> [mm]f(x)=0,5x^3+2x^2-x[/mm] /Nullsetzen, x ausklammern
> [mm]0=x(0,5x^2+2x)[/mm] durch 0,5
Hier ist Dir ein Fehler beim Ausklammern unterlaufen. Du "unterschlägst" doch glatt das letzte Glied in der Klammer ...
> [mm]x_{N1}=0[/mm]
> [mm]x_{N2}=-4[/mm]
> [mm]x_{N3}=-2[/mm]
Dadurch sind Deine Nullstellen [mm]x_{N2}=-4[/mm] und [mm]x_{N3}=-2[/mm] auch falsch.
Meine Werte sind (zur Kontrolle):
[mm]x_{N2,3} = -2 \pm \wurzel{6}[/mm]
>
> Extrema
> [mm]y=1,5x^2+4x-1[/mm]
> [mm]0=1,5x^2+4x-1[/mm]
> [mm]=x^2+2,67x-0,67[/mm]
Besser mit Brüchen arbeiten:
[mm]0 = x^2+ \bruch{8}{3}x- \bruch{2}{3}[/mm]
> wieder pq Formel einsetzen und ausrechnen
> [mm]x=0,235[/mm]
> [mm]x=-2,905[/mm]
Näherungsweise richtig (Differenzen entstehen Durch Deine gerundeten Werte ...)
>
> y Ausrechnen, also x in die funktione insetzen
> [mm]f(x)=0,5*0,235^3+2*0,235^2-0,235[/mm]
> [mm]=-0,12[/mm]
> [mm]f(x)=0,5*-0,235^3+2*-0,235^2+0,235[/mm]
> [mm]=0,34[/mm]
> x in die zweite Ableitung einsetzen um Tief und Hochpunkt
> zu bestimmen
> Also beide Punkte
> P (0,235/-0,12) tiefpunkt
> P (-0,235/0,34) tiefpunkt
Wenn Du eine Funktion ohne Polstellen oder Definitionslücken hast, kann es nicht sein, daß Du nur 2 Tiefpunkte ohne Hochpunkte erhältst.
Was erhältst Du denn für Werte für [mm]f''(x_{E1})[/mm] bzw. [mm]f''(x_{E2})[/mm], daß Du auf diese Schlußfolgerung mit den 2 Tiefpunkten kommst?
> Wendepunkt
> [mm]f''(x)=3x+4[/mm]
> [mm]0=3x+4[/mm]
> [mm]-\bruch{4}{3}=x[/mm]
Formal gesehen musst Du diese Stelle in die 3. Ableitung f'''(x) einsetzen und überprüfen, ob diese ungleich Null ist. Das ist in diesem Falle aber offensichtlich, da f'''(x) = 3 für alle x.
Aber besser in der Arbeit/Klausur deutlich hinschreiben ...
> [mm]f(x)=0,5*-\bruch{4}{3}^3+2*-\bruch{4}{3}^2+\bruch{4}{3}[/mm]
> [mm]y=3,7[/mm]
Auch hier ist ein (genaue) Bruchdarstellung durchaus noch zumutbar ...
[mm]y_{W} = \bruch{100}{27} \approx 3,7[/mm]
Also nochmals die Nullstellen und die Eigenschaften der Extremwerte überarbeiten ...
Eine gute Kontrolle ist auch eine Skizze mit allen errechneten "Sonderpunkten". Daraus lassen sich oft Fehler erkennen, wenn der Funktionsgraph nicht plausibel gezeichnet werden kann.
Grüße Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Mareike_ |
hi,
danke für deine korrektur.
> > Nullstellen:
> > [mm]f(x)=0,5x^3+2x^2-x[/mm] /Nullsetzen, x ausklammern
> > [mm]0=x(0,5x^2+2x)[/mm] durch 0,5
> Hier ist Dir ein Fehler beim Ausklammern unterlaufen. Du
> "unterschlägst" doch glatt das letzte Glied in der Klammer
> ...
das wäre dann [mm]0=x(0,5x^2+2x-1)[/mm]
> > [mm]x_{N1}=0[/mm]
> > [mm]x_{N2}=-4[/mm]
> > [mm]x_{N3}=-2[/mm]
> Dadurch sind Deine Nullstellen [mm]x_{N2}=-4[/mm] und [mm]x_{N3}=-2[/mm]
> auch falsch.
> Meine Werte sind (zur Kontrolle):
> [mm]x_{N2,3} = -2 \pm \wurzel{6}[/mm]
Sorry das verstehe ich nicht ganz bei mir sieht das so aus
[mm] x(1,2)=-\bruch{4}{2}\pm\wurzel{\bruch{4}{2}^2-(-1)}[/mm]
So [mm]\bruch{4}{2}^2[/mm]sind 4 und wenn ich dann noch plus 1 rechne habe ich aber nur wurzel aus 5 und nicht auf sechs. Kannst du mir das vll. genauer erklären?
edit: sorry hab die verkehrten zahlen genommen. War bei der zweiten Abl.
[mm] x(1,2)=-\bruch{2}{2}\pm\wurzel{\bruch{2}{2}^2-(-1)}[/mm]
So [mm]\bruch{2}{2}^2[/mm]sind 1 und wenn ich dann noch plus 1 rechne habe ich aber nur wurzel aus 2 und nicht auf sechs.
lg Mareike
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Hallo Mareike
> das wäre dann [mm]0=x(0,5x^2+2x-1)[/mm]
> > Meine Werte sind (zur Kontrolle):
> > [mm]x_{N2,3} = -2 \pm \wurzel{6}[/mm]
>
> Sorry das verstehe ich nicht ganz bei mir sieht das so
> aus
> [mm]x(1,2)=-\bruch{4}{2}\pm\wurzel{\bruch{4}{2}^2-(-1)}[/mm]
> So [mm]\bruch{4}{2}^2[/mm]sind 4 und wenn ich dann noch plus 1
> rechne habe ich aber nur wurzel aus 5 und nicht auf sechs.
> Kannst du mir das vll. genauer erklären?
>
> edit: sorry hab die verkehrten zahlen genommen. War bei der
> zweiten Abl.
> [mm]x(1,2)=-\bruch{2}{2}\pm\wurzel{\bruch{2}{2}^2-(-1)}[/mm]
> So [mm]\bruch{2}{2}^2[/mm]sind 1 und wenn ich dann noch plus 1
> rechne habe ich aber nur wurzel aus 2 und nicht auf
> sechs.
Hier bist du nun ein wenig durcheinander gekommen.... 
Die Funktion zur Nullstellenbestimmung lautete ja:
[mm] 0=x(0,5x^2+2x-1)
[/mm]
Also die erste Nullstelle ist natürlich [mm] x_{1}=0
[/mm]
Die zweite und dritte berechnest du über die Gleichung
[mm] 0,5x^2+2x-1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^2+4x-2=0
[/mm]
Also folgt [mm] x_{2,3}=-\bruch{4}{2}\pm\wurzel{\bruch{16}{4}-(-2)}=-2\pm\wurzel{4-(-2)}=-2\pm\wurzel{6}
[/mm]
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Mareike_ |
Hi,
danke Ulrike, da war ich wohl etwas schnell, bin wohl etwas durcheinandergekommen.
lg. Mareike
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